15) Мотоциклист выехал из пункта С в пункт D с постоянной скоростью. Преодолев 208 км, он прибыл в пункт D и поехал обратно, увеличив при этом скорость на 3 км/ч. На обратный путь мотоциклист затратил столько же времени, но при этом сделал остановку на 3 часа. С какой скоростью ехал мотоциклист из пункта С в пункт D?

Решение:

1. Обозначим переменные:
   • Пусть v - скорость мотоциклиста из пункта С в пункт D (км/ч).
   • Тогда скорость на обратном пути будет v + 3 (км/ч).
   • Расстояние между пунктами C и D равно 208 км.
2. Время в пути:
   • Время в пути из C в D: $$t_1 = \frac{208}{v}$$ (часов).
   • Время в пути из D в C (без остановки): $$t_2 = \frac{208}{v+3}$$ (часов).
   • Общее время в пути (включая остановку): $$t_{общ} = t_1 + t_2 + 3$$ (часов).
3. Условие задачи:
   • На обратном пути мотоциклист затратил столько же времени, сколько и на пути туда. Это означает, что время движения (без остановки) из C в D равно времени движения (без остановки) из D в C.
   • Следовательно, $$t_1 = t_2$$.
4. Составим и решим уравнение:
   • $$t_1 = t_2$$
   • $$ \frac{208}{v} = \frac{208}{v+3} $$
   • Так как числители равны, то и знаменатели должны быть равны, или если мы умножим крест-накрест:
   • $$208(v+3) = 208v$$
   • $$208v + 624 = 208v$$
   • $$624 = 0$$
   • Это уравнение не имеет решений. Перечитаем условие внимательно.
5. Переосмысление условия:
   • «На обратный путь мотоциклист затратил столько же времени» — это означает, что общее время в пути туда и обратно (включая остановку) равно времени, которое занял бы этот же путь без остановки, но с измененной скоростью. Или, что более вероятно, время в пути из C в D равно времени в пути из D в C, *если бы не было остановки*.
   • Другая интерпретация: Общее время в пути туда и обратно с остановкой равно времени, которое было бы потрачено на дорогу туда и обратно с изначальной скоростью, но без остановки.
   • Наиболее вероятное: Время движения на пути туда ($$t_1$$) равно времени движения на пути обратно ($$t_2$$).
   • В условии сказано: «На обратный путь мотоциклист затратил столько же времени, но при этом сделал остановку на 3 часа». Это означает, что время, которое он потратил на сам путь из D в C (без учета остановки) + 3 часа остановки = время, которое он потратил на путь из C в D.
   • $$t_1 = t_2 + 3$$
6. Составим и решим новое уравнение:
   • $$ \frac{208}{v} = \frac{208}{v+3} + 3 $$
   • Приведем к общему знаменателю:
   • $$ \frac{208}{v} - \frac{208}{v+3} = 3 $$
   • $$ \frac{208(v+3) - 208v}{v(v+3)} = 3 $$
   • $$ \frac{208v + 624 - 208v}{v^2 + 3v} = 3 $$
   • $$ \frac{624}{v^2 + 3v} = 3 $$
   • $$624 = 3(v^2 + 3v)$$
   • $$624 = 3v^2 + 9v$$
   • Разделим все на 3:
   • $$208 = v^2 + 3v$$
   • $$v^2 + 3v - 208 = 0$$
7. Решим квадратное уравнение $$v^2 + 3v - 208 = 0$$ с помощью дискриминанта:
   • $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-208) = 9 + 832 = 841$$
   • $$ \sqrt{D} = \sqrt{841} = 29 $$
   • $$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 29}{2} = \frac{26}{2} = 13$$
   • $$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 29}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$
   Так как скорость не может быть отрицательной, $$v = 13$$ км/ч.
8. Проверка:
   • Скорость из C в D: $$v = 13$$ км/ч. Время: $$t_1 = \frac{208}{13} = 16$$ часов.
   • Скорость из D в C: $$v+3 = 13+3 = 16$$ км/ч. Время: $$t_2 = \frac{208}{16} = 13$$ часов.
   • Время в пути из C в D (16 часов) больше времени движения на обратном пути (13 часов) на 3 часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 13 км/ч