15. На продолжении сторон квадрата взяли по точке так, что четыре отмеченных отрезка равны. Докажите, что эти точки являются вершинами второго квадрата.

Обозначим исходный квадрат как ABCD, а выбранные точки — как E, F, G, H: соответственно на продолжениях AB за B, BC за C, CD за D и DA за A. По отметкам на рисунке BE = CF = DG = AH.

Пусть сторона исходного квадрата равна a, а каждый из четырёх отмеченных отрезков — x. Тогда, например, в треугольнике BCF стороны BC и CF перпендикулярны и равны a и x. Поэтому по теореме Пифагора EF² = a² + x². Аналогично, каждый из отрезков между соседними выбранными точками имеет квадрат длины a² + x², следовательно, EF = FG = GH = HE.

В каждом углу исходного квадрата соседние стороны перпендикулярны. Поэтому угол между соответствующими продолжениями также прямой. Например, угол между BE и CF равен 90°. В прямоугольном треугольнике с катетами a и x острый угол при E имеет тангенс a/x; такой же острый угол образуется при F с другой стороны. Следовательно, внутренний угол EFG равен 90°. По той же причине все четыре внутренних угла четырёхугольника EFGH прямые.

Итак, четырёхугольник EFGH имеет четыре равные стороны и прямые углы, значит, он является квадратом.

Ответ: выбранные точки являются вершинами второго квадрата.