15. На рисунке диагонали параллелограмма MNPQ пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если OA = 1/3 OM, OB = 2/3 ON, OC = 1/3 OP, OD = 2/3 OQ. Доказательство. По свойству параллелограмма диагонали MP и NQ точкой пересечения O ________________, т. е. ___ = ___ и ___ = ___, поэтому OA = ___ = 1/3 ___, аналогично OB = ___ = 2/3 ___. Итак, в четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD точкой пересечения O ________________, поэтому ABCD — ____________________.

По свойству параллелограмма диагонали MP и NQ точкой пересечения O делятся пополам, то есть OM = OP и ON = OQ.

По условию OA = 1/3 OM, OC = 1/3 OP. Так как OM = OP, получаем OA = 1/3 OM = 1/3 OP = OC.

Аналогично: OB = 2/3 ON = 2/3 OQ = OD.

Итак, в четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD точкой пересечения O делятся пополам. По признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.