15. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD=4, DC=9. Площадь треугольника АВС равна 65. Найдите площадь треугольника ABD.

Решение:

Площадь треугольника ABC равна 65. Треугольники ABD и CBD имеют общую высоту, проведенную из вершины B. Отношение их площадей равно отношению оснований AD и DC.

\( S_{ABD} / S_{CBD} = AD / DC \)

Также площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABD и CBD:

\( S_{ABC} = S_{ABD} + S_{CBD} \)

Так как \( S_{ABC} = 65 \) и \( AD = 4 \), \( DC = 9 \), то \( AC = AD + DC = 4 + 9 = 13 \).

Площадь треугольника ABD можно найти по формуле:

\( S_{ABD} = S_{ABC} \cdot \frac{AD}{AC} \)

Подставим значения:

\( S_{ABD} = 65 \cdot \frac{4}{13} \)

\( S_{ABD} = 5 \cdot 4 \)

\( S_{ABD} = 20 \)

Ответ: 20