15) Найдите \(\angle MKP\).

Решение:

Четырёхугольник \(MKRP\) является ромбом, так как все его стороны равны (по условию рисунка).

В ромбе диагонали являются биссектрисами углов.

1. Диагональ \(MP\): Диагональ \(MP\) делит \(\angle KMP\) пополам. По условию \(\angle KMP = 115^{\circ}\) (угол при вершине \(M\)).
2. Угол \(\angle KMP\): \(\angle KMP = 115^{\circ}\) (дано).
3. Сумма углов ромба: В ромбе противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^{\circ}\).
4. \(\angle KRP = \angle KMP = 115^{\circ}\)
5. \(\angle MKR + \angle KMP = 180^{\circ}\) \(\implies \angle MKR = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}\).
6. \(\angle MRP + \angle KRP = 180^{\circ}\) \(\implies \angle MRP = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}\).
7. \(\angle MKP\) — это \(\angle KMR\) + \(\angle RMP\).
8. Углы при вершине K: \(\angle MKR = 65^{\circ}\).
9. Диагональ RP: Диагональ \(RP\) делит \(\angle MKR\) пополам.
10. \(\angle MKP = \frac{\angle MKR}{2} = \frac{65^{\circ}}{2} = 32.5^{\circ}\)

Ответ: \(32.5^{\circ}\)