15. Найти углы трапеции E F R T. По отметкам EF = ET = FR, EF ∥ TR; ∠TER = 75°.

Обозначим через α каждый из верхних углов трапеции. Они равны, поскольку трапеция равнобедренная: ET = FR.

Пусть общая длина EF, ET и FR равна 1. Высота трапеции равна sin α, а горизонтальная проекция каждой боковой стороны — cos α. Поэтому диагональ ER имеет горизонтальную проекцию 1 + cos α и вертикальную проекцию sin α.

Из прямоугольного разложения угла ∠TER = 75° получаем:

\(\tan 75^\circ = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha-\!\!\!\,0}\) — эта запись неверна для угла между ET и ER, поэтому используем скалярное произведение направлений: \(\cos 75^\circ = \frac{1-\cos\alpha-2\cos^2\alpha}{\sqrt{2+2\cos\alpha}}\).

Решение этого уравнения даёт \(\alpha \approx 70.3^\circ\). Углы при нижнем основании смежны с верхними, так как основания параллельны.

Ответ: ∠E ≈ ∠F ≈ 70.3°, ∠T ≈ ∠R ≈ 109.7°.