15. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите угол при основании.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Внешний угол при вершине равен 70°.

1. Внешний угол равнобедренного треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.
2. Пусть углы при основании равны \( α \), а угол при вершине равен \( β \). Тогда \( α + α + β = 180^\circ \).
3. Внешний угол при вершине равен \( α + α = 2α \).
4. По условию, \( 2α = 70^\circ \).
5. Тогда \( α = 70^\circ / 2 = 35^\circ \).
6. Угол при основании равен 35°.

Случай 2: Внешний угол при основании равен 70°.

1. Внешний угол и прилежащий к нему внутренний угол в сумме дают 180°.
2. Значит, внутренний угол при основании равен \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
3. Но углы при основании равнобедренного треугольника равны. Получается, что \( α = 110^\circ \).
4. Тогда сумма двух углов при основании будет \( 110^\circ + 110^\circ = 220^\circ \).
5. Это невозможно, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.
6. Значит, этот случай невозможен.

Ответ: 35.