Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика15. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 и 16, длины боковых ребер равны 26 см. Найдите высоту пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ:
Решение:
1. Находим диагональ основания пирамиды.
Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами \( a = 12 \) см и \( b = 16 \) см. Диагональ \( d \) основания можно найти по теореме Пифагора:
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см} \]2. Находим высоту пирамиды.
Боковое ребро \( l = 26 \) см. Длина половины диагонали основания равна \( \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) см. Высота пирамиды \( h \) является катетом в прямоугольном треугольнике, образованном половиной диагонали основания, боковым ребром и высотой. По теореме Пифагора:
\[ h = \sqrt{l^2 - (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 \text{ см} \]3. Находим апофемы боковых граней.
Пирамида имеет две пары одинаковых боковых граней.
Грань 1 (основание 12 см):
Апофема \( h_1 \) является катетом в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, половиной стороны основания (12/2 = 6 см) и апофемой.
\[ h_1 = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{24^2 + 6^2} = \sqrt{576 + 36} = \sqrt{612} = \sqrt{36 \times 17} = 6\sqrt{17} \text{ см} \]Грань 2 (основание 16 см):
Апофема \( h_2 \) является катетом в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, половиной стороны основания (16/2 = 8 см) и апофемой.
\[ h_2 = \sqrt{h^2 + (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{24^2 + 8^2} = \sqrt{576 + 64} = \sqrt{640} = \sqrt{64 \times 10} = 8\sqrt{10} \text{ см} \]4. Находим площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) равна сумме площадей всех боковых граней. Площадь грани равна половине произведения основания на апофему.
\[ S_{бок} = 2 \times (\frac{1}{2} \times 12 \times h_1) + 2 \times (\frac{1}{2} \times 16 \times h_2) \]\[ S_{бок} = 12 \times 6\sqrt{17} + 16 \times 8\sqrt{10} \]\[ S_{бок} = 72\sqrt{17} + 128\sqrt{10} \text{ см}^2 \]Ответ: Высота пирамиды равна 24 см, площадь боковой поверхности равна \( 72\sqrt{17} + 128\sqrt{10} \) см2.
