15. Первообразная и интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Решение задач на применение интеграла для вычисления площадей. Найдите площади фигуры, ограниченной линиями.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, будем использовать определенный интеграл.

1. \( y = 0, y = 2x, y = 3 - x^2, x \ge 0 \)

Найдем точки пересечения кривых:

• \( 2x = 3 - x^2 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x+3)(x-1) = 0 \). Так как \( x \ge 0 \), то \( x = 1 \).
• \( 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \).
• \( 3 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3} \) (так как \( x \ge 0 \)).

Интеграл разбиваем на два участка: от 0 до 1 (верхняя граница \( 2x \), нижняя \( 0 \)) и от 1 до \( \sqrt{3} \) (верхняя граница \( 3 - x^2 \), нижняя \( 0 \)).

\[ S = \int_0^1 2x \,dx + \int_1^{\sqrt{3}} (3 - x^2) \,dx \]\[ S = \left[ x^2 \right]_0^1 + \left[ 3x - \frac{x^3}{3} \right]_1^{\sqrt{3}} \]\[ S = (1^2 - 0^2) + \left( 3\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{3})^3}{3} \right) - \left( 3 \cdot 1 - \frac{1^3}{3} \right) \]\[ S = 1 + \left( 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} \right) - \left( 3 - \frac{1}{3} \right) \]\[ S = 1 + (3\sqrt{3} - \sqrt{3}) - \frac{8}{3} \]\[ S = 1 + 2\sqrt{3} - \frac{8}{3} = \frac{3 + 6\sqrt{3} - 8}{3} = \frac{6\sqrt{3} - 5}{3} \]

2. \( y = x^2, y = 4x - 3 \)

Найдем точки пересечения:

\[ x^2 = 4x - 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1, x = 3 \]

3. \( y = \frac{5}{x}, x^2 - 6x + 5 = 0, y = 0 \)

Уравнение \( x^2 - 6x + 5 = 0 \) имеет корни \( x = 1 \) и \( x = 5 \). Линия \( y = 0 \) — это ось абсцисс. Функция \( y = \frac{5}{x} \) находится выше оси абсцисс на интервале \( [1, 5] \).

\[ S = \int_1^5 \frac{5}{x} \,dx \]\[ S = \left[ 5 \ln|x| \right]_1^5 \]\[ S = 5 \ln(5) - 5 \ln(1) = 5 \ln(5) \]

4. \( y = -\frac{7}{x}, x^2 - 8x + 7 = 0 \)

Уравнение \( x^2 - 8x + 7 = 0 \) имеет корни \( x = 1 \) и \( x = 7 \). Функция \( y = -\frac{7}{x} \) находится ниже оси абсцисс на интервале \( [1, 7] \).

\[ S = \left| \int_1^7 -\frac{7}{x} \,dx \right| \]\[ S = \left| \left[ -7 \ln|x| \right]_1^7 \right| \]\[ S = \left| -7 \ln(7) - (-7 \ln(1)) \right| \]\[ S = \left| -7 \ln(7) \right| = 7 \ln(7) \]

5. \( y = x, y = 2 - x^2, y = 0, x \ge 0 \)

Найдем точки пересечения:

• \( x = 2 - x^2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \). Так как \( x \ge 0 \), то \( x = 1 \).
• \( x = 0 \).
• \( 2 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2} \) (так как \( x \ge 0 \)).

Интеграл разбиваем на два участка: от 0 до 1 (верхняя граница \( x \), нижняя \( 0 \)) и от 1 до \( \sqrt{2} \) (верхняя граница \( 2 - x^2 \), нижняя \( 0 \)).

\[ S = \int_0^1 x \,dx + \int_1^{\sqrt{2}} (2 - x^2) \,dx \]\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + \left[ 2x - \frac{x^3}{3} \right]_1^{\sqrt{2}} \]\[ S = \left( \frac{1^2}{2} - 0 \right) + \left( 2\sqrt{2} - \frac{(\sqrt{2})^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot 1 - \frac{1^3}{3} \right) \]\[ S = \frac{1}{2} + \left( 2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} \right) \]\[ S = \frac{1}{2} + \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{5}{3} = \frac{3 + 8\sqrt{2} - 10}{6} = \frac{8\sqrt{2} - 7}{6} \]

• 1. Площадь равна: \( \frac{6\sqrt{3} - 5}{3} \)

• 2. Найдем точки пересечения: \( x^2 = 4x - 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \). \( x = 1, x = 3 \). Площадь: \( S = \int_1^3 (4x - 3 - x^2) \,dx = \left[ 2x^2 - 3x - \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = (18 - 9 - 9) - (2 - 3 - \frac{1}{3}) = 0 - (-1 - \frac{1}{3}) = \frac{4}{3} \)

• 3. Площадь равна: \( 5 \ln(5) \)

• 4. Площадь равна: \( 7 \ln(7) \)

• 5. Площадь равна: \( \frac{8\sqrt{2} - 7}{6} \)