15. Первый рабочий за час делает на 9 деталей меньше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 10 часов медленнее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Краткая запись:

• Объем заказа: 180 деталей
• Разница в производительности: 9 деталей/час
• Разница во времени: 10 часов
• Обозначим производительность второго рабочего за x деталей/час.
• Тогда производительность первого рабочего: (x - 9) деталей/час.
• Время выполнения заказа вторым рабочим: 180 / x часов.
• Время выполнения заказа первым рабочим: 180 / (x - 9) часов.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Составляем уравнение, исходя из условия, что первый рабочий выполняет заказ на 10 часов медленнее второго:
   \( \frac{180}{x-9} - \frac{180}{x} = 10 \)
2. Шаг 2: Упрощаем уравнение, разделив все члены на 10:
   \( \frac{18}{x-9} - \frac{18}{x} = 1 \)
3. Шаг 3: Приводим к общему знаменателю:
   \( \frac{18x - 18(x-9)}{x(x-9)} = 1 \)
4. Шаг 4: Раскрываем скобки и упрощаем числитель:
   \( \frac{18x - 18x + 162}{x^2 - 9x} = 1 \)
   \( \frac{162}{x^2 - 9x} = 1 \)
5. Шаг 5: Переносим знаменатель в правую часть:
   \( 162 = x^2 - 9x \)
6. Шаг 6: Получаем квадратное уравнение:
   \( x^2 - 9x - 162 = 0 \)
7. Шаг 7: Решаем квадратное уравнение (через дискриминант или теорему Виета).
   Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(1)(-162) = 81 + 648 = 729 \).
   \( \sqrt{D} = \sqrt{729} = 27 \).
   Корни уравнения:
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 27}{2} = \frac{36}{2} = 18 \)
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 27}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \)
8. Шаг 8: Выбираем положительный корень, так как производительность не может быть отрицательной.
   Производительность второго рабочего \( x = 18 \) деталей/час.

Ответ: 18 деталей/час