15. Площадь равнобедренного треугольника равна \( \frac{169\sqrt{3}}{4} \). Угол, лежащий напротив основания, равен 120° (см. рис. 140). Найдите длину боковой стороны.

Решение:

Пусть \( a \) — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, а \( b \) — длина основания. Угол, лежащий напротив основания, равен \( \gamma = 120^{\circ} \). Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} a^2 \sin \gamma \).

1. Подставим известные значения в формулу площади: \( \frac{169\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} a^2 \sin 120^{\circ} \)
2. Значение \( \sin 120^{\circ} \) равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
3. Подставим значение синуса: \( \frac{169\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \)
4. Упростим уравнение: \( \frac{169\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
5. Разделим обе части уравнения на \( \frac{\sqrt{3}}{4} \): \( 169 = a^2 \)
6. Извлечём квадратный корень: \( a = \sqrt{169} = 13 \)

Длина боковой стороны равна 13.

Ответ: 13