15. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB = 42, AC = 45, MN = 24. Найдите AM.

Решение:

По условию, прямая MN параллельна стороне AC. Это означает, что треугольник MBN подобен треугольнику ABC по двум углам (угол B общий, углы BMN и BAC как соответствующие при параллельных прямых AC и MN и секущей AB).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\( \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{BM}{42} = \frac{BN}{BC} = \frac{24}{45} \)

Найдем отношение \( \frac{BM}{42} \):

\( \frac{BM}{42} = \frac{24}{45} \Rightarrow BM = 42 \times \frac{24}{45} = 42 \times \frac{8}{15} = \frac{14 \times 8}{5} = \frac{112}{5} = 22.4 \)

Теперь найдем AM:

\( AM = AB - BM = 42 - 22.4 = 19.6 \)

Ответ: 19.6