15. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC = 44, MN = 24. Площадь треугольника ABC равна 121. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

По условию, прямая MN параллельна стороне AC. Следовательно, треугольник MBN подобен треугольнику ABC по двум углам (угол B общий, угол BMN = угол BAC как соответственные при параллельных AC и MN и секущей AB).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон:

$$ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \left( \frac{MN}{AC} \right)^2 $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{S_{MBN}}{121} = \left( \frac{24}{44} \right)^2 $$

Упростим дробь \( \frac{24}{44} \):

$$ \frac{24}{44} = \frac{6}{11} $$

Теперь возведём в квадрат:

$$ \left( \frac{6}{11} \right)^2 = \frac{36}{121} $$

Вернёмся к уравнению для площадей:

$$ \frac{S_{MBN}}{121} = \frac{36}{121} $$

Чтобы найти площадь треугольника MBN, умножим обе части на 121:

$$ S_{MBN} = 121 \cdot \frac{36}{121} $$

$$ S_{MBN} = 36 $$

Ответ: 36