15. Прямоугольный треугольник. Даны точки: A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(0; 4; 0). Найдите длины сторон и докажите, что треугольник прямоугольный.

Используем формулу расстояния между точками в пространстве.

1. \(AB=\sqrt{(3-0)^2+(0-0)^2+(0-0)^2}=3\).
2. \(AC=\sqrt{(0-0)^2+(4-0)^2+(0-0)^2}=4\).
3. \(BC=\sqrt{(0-3)^2+(4-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{9+16}=5\).

Проверим обратную теорему Пифагора: \(AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25=BC^2\). Следовательно, треугольник прямоугольный, причём прямой угол находится при вершине \(A\).

Ответ: \(AB=3\), \(AC=4\), \(BC=5\); \(\angle A=90^\circ\).