15. Решите неравенство 1g2 2(x+2)²(x+5) 5 <1g2 2x+5 20

Решение:

Для решения данного неравенства нам нужно учесть область определения логарифмической функции. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

\( \frac{(x+2)^2(x+5)}{5} > 0 \)

\( \frac{x+5}{20} > 0 \)

Из второго условия имеем \( x+5 > 0 \), следовательно \( x > -5 \).

Из первого условия \( (x+2)^2(x+5) > 0 \). Так как \( (x+2)^2 \ge 0 \) для всех \( x \), а \( x+5 > 0 \) (из второго условия), то \( (x+2)^2 \) не может быть равно нулю, иначе \( x = -2 \), а при \( x = -2 \) выражение \( \frac{(x+2)^2(x+5)}{5} = 0 \), что недопустимо. Таким образом, \( x \neq -2 \).

Объединяя условия, получаем \( x > -5 \) и \( x \neq -2 \).

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма \( 10 > 1 \), то функция \( \text{lg} \) возрастающая. Следовательно, мы можем приравнять аргументы логарифмов, сохраняя знак неравенства:

\[ \frac{{(x+2)^2(x+5)}{5}} > \frac{{ x+5}{20}} \]

Умножим обе части на 20:

\[ 4(x+2)^2(x+5) > x+5 \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ 4(x+2)^2(x+5) - (x+5) > 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x+5) \):

\[ (x+5) [4(x+2)^2 - 1] > 0 \]

Раскроем скобки \( (x+2)^2 \):

\[ (x+5) [4(x^2 + 4x + 4) - 1] > 0 \]

\[ (x+5) [4x^2 + 16x + 16 - 1] > 0 \]

\[ (x+5) (4x^2 + 16x + 15) > 0 \]

Найдем корни квадратного трёхчлена \( 4x^2 + 16x + 15 = 0 \). Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 - 240 = 16 \]

Корни: \( x = \frac{-16 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-16 \pm 4}{8} \)

\[ x_1 = \frac{-16 + 4}{8} = \frac{-12}{8} = -1.5 \]

\[ x_2 = \frac{-16 - 4}{8} = \frac{-20}{8} = -2.5 \]

Таким образом, неравенство примет вид:

\[ (x+5)(4(x+1.5)(x+2.5)) > 0 \]

или

\[ 4(x+5)(x+1.5)(x+2.5) > 0 \]

Разобьём числовую прямую на интервалы с помощью корней \( -5, -2.5, -1.5 \) и \( -2 \) (из области определения).

Интервалы: \( (-\infty, -5) \), \( (-5, -2.5) \), \( (-2.5, -2) \), \( (-2, -1.5) \), \( (-1.5, \infty) \).

Проверим знаки выражения \( (x+5)(x+1.5)(x+2.5) \) на каждом интервале:

• При \( x < -5 \), например \( x = -6 \): \( (-)(-)(-) = (-) \).
• При \( -5 < x < -2.5 \), например \( x = -3 \): \( (+)(-)(-) = (+) \).
• При \( -2.5 < x < -2 \), например \( x = -2.1 \): \( (+)(+)(-) = (-) \).
• При \( -2 < x < -1.5 \), например \( x = -1.8 \): \( (+)(+)(-) = (-) \). (Ошибка в проверке: при x=-1.8, x+5=3.2, x+1.5=-0.3, x+2.5=0.7. Результат: (+)(-)(+) = (-). Отсюда следует, что интервал (-2, -1.5) также отрицательный.)
• При \( x > -1.5 \), например \( x = 0 \): \( (+)(+)(+) = (+) \).

Исправляем проверку знаков:

• \( (-\infty, -5) \): \( (-5)(-2.5)(-1.5) = (-) \).
• \( (-5, -2.5) \): \( (+)(-)(-) = (+) \).
• \( (-2.5, -2) \): \( (+)(+)(-) = (-) \).
• \( (-2, -1.5) \): \( (+)(+)(-) = (-) \).
• \( (-1.5, \infty) \): \( (+)(+)(+) = (+) \).

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. Это соответствует интервалам \( (-5, -2.5) \) и \( (-1.5, \infty) \).

Учитывая условие \( x \neq -2 \), мы получаем:

\[ x \in (-5, -2.5) \cup (-1.5, \infty) \]

Однако, так как \( x \neq -2 \), то из интервала \( (-5, -2.5) \) нужно исключить \( -2 \). Но \( -2 \) уже находится в интервале \( (-2.5, -1.5) \), где знак отрицательный, поэтому \( x = -2 \) не является решением.

Поэтому, учитывая область определения \( x > -5 \) и \( x \neq -2 \), и решение неравенства \( x \in (-5, -2.5) \cup (-1.5, \infty) \), мы получаем:

Пересечение \( x > -5 \) и \( x \in (-5, -2.5) \cup (-1.5, \infty) \) дает \( x \in (-5, -2.5) \cup (-1.5, \infty) \).

Исключаем \( x = -2 \) из области определения, но \( -2 \) не входит в полученное решение.

Итак, окончательное решение:

\[ x \in (-5, -2.5) \cup (-1.5, \infty) \]

Ответ: \( x \in (-5, -2.5) \cup (-1.5, \infty) \).