15 Решите неравенство $$\frac{5 · 16^x - 14 · 20^x + 8 · 25^x}{\log_2(x^2+6x+9)} \ge 0$$.

Решение:

1. Преобразуем неравенство:

   Заметим, что $$16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$$, $$20^x = (4 · 5)^x = 4^x · 5^x$$, $$25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$$.

   Введем замену: $$a = 4^x$$ и $$b = 5^x$$. Тогда числитель станет $$5a^2 - 14ab + 8b^2$$.

   Разложим числитель на множители. Если $$b=1$$, то $$5a^2 - 14a + 8 = 0$$. Корни $$a = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 160}}{10} = \frac{14 \pm 6}{10}$$, т.е. $$a = 2$$ и $$a = \frac{4}{5}$$.

   Значит, $$5a^2 - 14ab + 8b^2 = 5b^2 (\frac{a}{b} - 2) (\frac{a}{b} - \frac{4}{5}) = b^2 (\frac{a}{b} - 2) (5 \frac{a}{b} - 4) = (a - 2b)(5a - 4b)$$.

   Подставляем обратно $$4^x$$ и $$5^x$$:

   $$a - 2b = 4^x - 2 · 5^x$$

   $$5a - 4b = 5 · 4^x - 4 · 5^x$$

   Таким образом, числитель равен $$(4^x - 2 · 5^x)(5 · 4^x - 4 · 5^x)$$.

2. Знаменатель:

   $$\\log_2(x^2+6x+9) = \\log_2((x+3)^2) = 2 \\log_2|x+3|$$.

   Условие $$x^2+6x+9 > 0$$ означает $$(x+3)^2 > 0$$, то есть $$x \neq -3$$.

   Условие $$\\log_2((x+3)^2) \neq 0$$ означает $$(x+3)^2 \neq 1$$, то есть $$x+3 \neq \pm 1$$, $$x \neq -2$$ и $$x \neq -4$$.

3. Преобразуем неравенство к виду:

   $$\frac{(4^x - 2 · 5^x)(5 · 4^x - 4 · 5^x)}{2 \\log_2|x+3|} \ge 0$$.

   Разделим числитель и знаменатель на $$5^x$$ (так как $$5^x > 0$$):

   $$\frac{5^x( (\frac{4}{5})^x - 2 )( 5 \u00B7 (\frac{4}{5})^x - 4 )}{2 \\log_2|x+3|} \ge 0$$.

   Поскольку $$5^x > 0$$, знак неравенства зависит от:

   $$\frac{( (\frac{4}{5})^x - 2 )( 5 (\frac{4}{5})^x - 4 )}{\\log_2|x+3|} \ge 0$$.

4. Рассмотрим знаки выражений:

   Пусть $$t = (\frac{4}{5})^x$$. Так как $$0 < \frac{4}{5} < 1$$, функция $$t(x)$$ убывающая.

   Числитель: $$(t - 2)(5t - 4)$$.

   • $$t - 2 = 0 → t = 2$$. Так как $$t = (\frac{4}{5})^x$$, $$2 = (\frac{4}{5})^x$$, $$x = \\log_{4/5} 2 = \frac{\\log 2}{\\log (4/5)} = \frac{\\log 2}{\\log 4 - \\log 5} = \frac{\\log 2}{2 \\log 2 - \\log 5} \approx \frac{0.301}{2(0.301) - 0.699} = \frac{0.301}{0.602 - 0.699} = \frac{0.301}{-0.097} \approx -3.1$$.
   • $$5t - 4 = 0 → t = \frac{4}{5}$$. $$ (\frac{4}{5})^x = \frac{4}{5} → x = 1$$.

   Знаки числителя:

   • При $$x < -3.1$$, $$t > 2$$, $$(t-2) > 0$$, $$(5t-4) > 0 →$$ числитель +.
   • При $$-3.1 < x < 1$$, $$4/5 < t < 2$$, $$(t-2) < 0$$, $$(5t-4) > 0 →$$ числитель -.
   • При $$x > 1$$, $$0 < t < 4/5$$, $$(t-2) < 0$$, $$(5t-4) < 0 →$$ числитель +.

   Знаменатель: $$\\log_2|x+3|$$.

   • $$\\log_2|x+3| > 0 → |x+3| > 1 → x+3 > 1$$ или $$x+3 < -1 → x > -2$$ или $$x < -4$$.
   • $$\\log_2|x+3| < 0 → 0 < |x+3| < 1 → -1 < x+3 < 1 → -4 < x < -2$$.
5. Собираем таблицу знаков:

Интервал	$$(\frac{4}{5})^x - 2$$	$$5(\frac{4}{5})^x - 4$$	Числитель	$$\log_2|x+3|$$	Дробь
$$x < -4$$	+	+	+	+	+
$$x = -4$$	+	+	+	0	---
$$-4 < x < -3.1$$	+	+	+	-	-
$$x = -3.1$$	0	+	0	-	0
$$-3.1 < x < -3$$	-	+	-	-	+
$$x = -3$$	-	+	-	-	+
$$-3 < x < -2$$	-	+	-	-	+
$$x = -2$$	-	+	-	0	---
$$-2 < x < 1$$	-	+	-	+	-
$$x = 1$$	-	0	0	+	0
$$x > 1$$	-	-	+	+	+

Учитываем ограничения: $$x \neq -3, x \neq -2, x \neq -4$$.

Объединяем интервалы, где дробь $$\ge 0$$:

$$x < -4$$ (исключая $$x=-4$$) $$→ (-∞, -4)$$

$$-3.1 ≤ x < -2$$ (исключая $$x=-2$$) $$→ [-3.1, -2)$$

$$x=1$$ (включая) $$→ x=1$$

$$x > 1$$ $$→ (1, +∞)$$

Объединяем: $$(-∞, -4) \cup [-3.1, -2) \cup [1, +∞)$$.

Ответ: $$(-∞, -4) \cup [-\\log_{4/5} 2, -2) \cup [1, +∞)$$.