15 Решите неравенство $$\frac{5 \cdot 16^{x}-14 \cdot 20^{x}+8 \cdot 25^{x}}{\log _{2}\left(x^{2}+6 x+9\right)} \geq 0$$

Давай решим это неравенство по шагам:

1. Преобразуем числитель:

   Заметим, что $$16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$$, $$20^x = (4 \times 5)^x = 4^x \times 5^x$$, и $$25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$$.

   Разделим числитель и знаменатель на $$20^x$$ (поскольку $$20^x > 0$$ для всех $$x$$, знак неравенства не изменится):

   $$ \frac{5 \cdot \left(\frac{16}{20}\right)^{x}-14 \cdot \left(\frac{20}{20}\right)^{x}+8 \cdot \left(\frac{25}{20}\right)^{x}}{\frac{\log _{2}\left(x^{2}+6 x+9\right)}{20^{x}}} \geq 0 $$

   Упрощаем дроби:

   $$ \frac{16}{20} = \frac{4}{5}, \quad \frac{25}{20} = \frac{5}{4} $$

   Теперь числитель выглядит так:

   $$ 5 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{x}-14+8 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^{x} $$

   Пусть $$t = \left(\frac{4}{5}\right)^{x}$$. Тогда $$\left(\frac{5}{4}\right)^{x} = \frac{1}{t}$$.

   Получаем квадратное уравнение относительно $$t$$:

   $$ 5t - 14 + \frac{8}{t} \geq 0 $$

   Умножим на $$t$$ (учитывая, что $$t = (4/5)^x > 0$$):

   $$ 5t^2 - 14t + 8 \geq 0 $$

   Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $$D = (-14)^2 - 4 \times 5 \times 8 = 196 - 160 = 36$$.

   Корни: $$t_1 = \frac{14 - \sqrt{36}}{2 \times 5} = \frac{14 - 6}{10} = \frac{8}{10} = 0.8 = \frac{4}{5}$$ и $$t_2 = \frac{14 + \sqrt{36}}{2 \times 5} = \frac{14 + 6}{10} = \frac{20}{10} = 2$$.

   Итак, $$5t^2 - 14t + 8 \geq 0$$ выполняется при $$t \leq \frac{4}{5}$$ или $$t \geq 2$$.

   Возвращаясь к $$t = \left(\frac{4}{5}\right)^{x}$$:

   • $$t \leq \frac{4}{5} \implies \left(\frac{4}{5}\right)^{x} \leq \frac{4}{5}$$. Так как основание дроби (4/5) меньше 1, при снятии степени знак неравенства меняется: $$x \geq 1$$.
   • $$t \geq 2 \implies \left(\frac{4}{5}\right)^{x} \geq 2$$. Логарифмируем обе части по основанию 4/5: $$x \leq \log_{4/5}(2)$$.
2. Преобразуем знаменатель:

   Знаменатель: $$\log_{2}(x^2+6x+9)$$.

   Во-первых, $$x^2+6x+9 = (x+3)^2$$. Значит, знаменатель $$\log_{2}((x+3)^2) = 2\log_{2}|x+3|$$.

   Условия для знаменателя:

   • Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $$(x+3)^2 > 0$$, что означает $$x \neq -3$$.
   • Знаменатель не должен быть равен нулю: $$2\log_{2}|x+3| \neq 0 \implies \log_{2}|x+3| \neq 0 \implies |x+3| \neq 1$$. Это значит $$x+3 \neq 1$$ и $$x+3 \neq -1$$, то есть $$x \neq -2$$ и $$x \neq -4$$.

   Итак, ограничения: $$x \neq -3, x \neq -2, x \neq -4$$.

3. Объединяем условия:

   Нам нужно, чтобы $$\frac{5t^2-14t+8}{2\log_{2}|x+3|} \geq 0$$, где $$t = (4/5)^x$$.

   Это эквивалентно тому, что числитель и знаменатель имеют одинаковый знак (или числитель равен нулю).

   • Случай 1: Числитель $$\geq 0$$ и Знаменатель $$ > 0$$.
     Числитель $$\geq 0$$ при $$x \geq 1$$ или $$x \leq \log_{4/5}(2)$$.
     Знаменатель $$ > 0 \to 2\log_{2}|x+3| > 0 \to \log_{2}|x+3| > 0 \to |x+3| > 1$$. Это означает $$x+3 > 1$$ или $$x+3 < -1$$, то есть $$x > -2$$ или $$x < -4$$.

   Объединяем $$x \neq -3, x \neq -2, x \neq -4$$ с условиями $$x \geq 1$$ или $$x \leq \log_{4/5}(2)$$ и $$x > -2$$ или $$x < -4$$.

   Подслучай 1.1: $$x \geq 1$$ и ($$x > -2$$ или $$x < -4$$).
   Так как $$x \neq -3, -2, -4$$, то $$x \neq -4$$ и $$x \neq -2$$.
   $$x egn{array}{c}\ge \\ 1 \end{array}$$ и $$x > -2$$ дает $$x \geq 1$$.
   $$x egn{array}{c}\ge \\ 1 \end{array}$$ и $$x < -4$$ несовместимы.

   Подслучай 1.2: $$x \leq \log_{4/5}(2)$$ и ($$x > -2$$ или $$x < -4$$).
   $$x \leq \log_{4/5}(2)$$ и $$x > -2$$. Это дает $$-2 < x \leq \log_{4/5}(2)$$. (Учитывая, что $$\log_{4/5}(2)$$ отрицательно, это интервал).
   $$x \leq \log_{4/5}(2)$$ и $$x < -4$$. Это дает $$x < -4$$.

   Итак, в Случае 1 получаем: $$x < -4$$ или $$-2 < x \leq \log_{4/5}(2)$$ или $$x \geq 1$$.

   • Случай 2: Числитель $$\leq 0$$ и Знаменатель $$ < 0$$.
     Числитель $$\leq 0$$ при $$\frac{4}{5} \leq t \leq 2$$, что для $$t=(4/5)^x$$ дает $$\log_{4/5}(2) \leq x \leq 1$$.
     Знаменатель $$ < 0 \to 2\log_{2}|x+3| < 0 \to \log_{2}|x+3| < 0 \to |x+3| < 1$$. Это означает $$-1 < x+3 < 1$$, то есть $$-4 < x < -2$$.

   Объединяем $$\log_{4/5}(2) \leq x \leq 1$$ с $$-4 < x < -2$$.
   Так как $$\log_{4/5}(2)$$ является отрицательным числом, а $$-4 < x < -2$$, то интервал $$\log_{4/5}(2) \leq x \leq 1$$ не пересекается с $$-4 < x < -2$$.

   Финальный ответ:
   Объединяем результаты Случая 1 и Случая 2.

   Значение $$\log_{4/5}(2)$$ примерно равно -1.7.

   Таким образом, решение:

   $$x \in (-\infty; -4) \cup (-2; \log_{4/5}(2)] \cup [1; \infty)$$

Ответ: $$ x \in (-\infty; -4) \cup (-2; \log_{4/5}(2)] \cup [1; \infty) $$.