15. Решите неравенство \( \frac{\sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2+x}}{x^2+x-1} \le 0 \).

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{\sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2+x}}{x^2+x-1} \le 0 \), необходимо учесть следующие условия:

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
• Под корнями должны быть неотрицательные выражения:
• \( x^2-2x+1 \ge 0 \implies (x-1)^2 \ge 0 \) (верно для любого \( x \)).
• \( x^2+x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0 \). Решением этого неравенства является \( x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty) \).
• Знаменатель не должен быть равен нулю:
• \( x^2+x-1
  e 0 \). Найдем корни квадратного уравнения \( x^2+x-1=0 \): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \].
• Таким образом, \( x
  e \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \) и \( x
  e \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \).
2. Анализ знака неравенства:
• Числитель: \( \sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2+x} \ge 0 \)
• \( \sqrt{(x-1)^2} \ge \sqrt{x^2+x} \)
• \( |x-1| \ge \sqrt{x^2+x} \)
• Рассмотрим два случая для \( |x-1| \):
• Случай 1: \( x-1 \ge 0 \) (т.е. \( x \ge 1 \)). Тогда \( x-1 \ge \sqrt{x^2+x} \). Возведем обе стороны в квадрат (обе части неотрицательны):
• \( (x-1)^2 \ge x^2+x \)
• \( x^2-2x+1 \ge x^2+x \)
• \( 1 \ge 3x \)
• \( x \le \frac{1}{3} \).
• Учитывая условие \( x \ge 1 \), этот случай не дает решений.
• Случай 2: \( x-1 < 0 \) (т.е. \( x < 1 \)). Тогда \( -(x-1) \ge \sqrt{x^2+x} \) или \( 1-x \ge \sqrt{x^2+x} \).
• Для существования корня \( \sqrt{x^2+x} \) необходимо \( x^2+x \ge 0 \), что означает \( x ∈ (-\infty, -1] \cup [0, \infty) \).
• Также, для возведения в квадрат, необходимо \( 1-x \ge 0 \), что означает \( x \le 1 \).
• Возводим обе стороны в квадрат:
• \( (1-x)^2 \ge x^2+x \)
• \( 1-2x+x^2 \ge x^2+x \)
• \( 1 \ge 3x \)
• \( x \le \frac{1}{3} \).
• Объединяем условия \( x < 1 \), \( x ∈ (-\infty, -1] \cup [0, \infty) \) и \( x \le \frac{1}{3} \). Получаем \( x \in (-\infty, -1] \cup [0, \frac{1}{3}] \).
3. Знаменатель: \( x^2+x-1 \)
• Корни знаменателя: \( x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618 \) и \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618 \).
• Разложим знаменатель: \( (x - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2})(x - \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}) \).
4. Объединение условий:
• Нам нужно, чтобы числитель был \( \ge 0 \) и знаменатель был \(
  e 0 \), при этом вся дробь \( \le 0 \).
• Это означает, что числитель \( \ge 0 \) И знаменатель \( < 0 \) ИЛИ числитель \( \le 0 \) И знаменатель \( > 0 \).
• Поскольку числитель \( \sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2+x} \ge 0 \) только в области \( x \in (-\infty, -1] \cup [0, \frac{1}{3}] \), то второй случай (числитель \( \le 0 \)) невозможен.
• Следовательно, нам нужно, чтобы числитель \( \ge 0 \) и знаменатель \( < 0 \).
• Область, где числитель \( \ge 0 \): \( x \in (-\infty, -1] \cup [0, \frac{1}{3}] \).
• Область, где знаменатель \( < 0 \): \( x \in (\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}) \).
• Пересечение этих областей:
• \( ( (-\infty, -1] \cup [0, \frac{1}{3}] ) \cap (\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}) \)
• \( \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618 \). \( \frac{1}{3} \approx 0.333 \). \( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618 \).
• \( ( (-\infty, -1.618] \cup [0, 0.333] ) \cap (-1.618, 0.618) \)
• Пересечение \( (-\infty, -1.618] \) с \( (-1.618, 0.618) \) равно пустому множеству.
• Пересечение \( [0, 0.333] \) с \( (-1.618, 0.618) \) равно \( [0, 0.333] \).

Ответ: \( x \in [0, \frac{1}{3}] \).