15. Решите неравенство (log²₁⁄₆(x + 4) − log₆(x² + 8x + 16) + 1) · log₆(x + 5) ≤ 0.

Область допустимых значений: x + 4 > 0, то есть x > −4. Тогда x² + 8x + 16 = (x + 4)².

Обозначим t = log₆(x + 4). Поскольку log₁⁄₆(x + 4) = −t, выражение в первой скобке упрощается:

(−t)² − log₆((x + 4)²) + 1 = t² − 2t + 1 = (t − 1)² ≥ 0.

Чтобы произведение было неположительным, возможны два случая:

1. log₆(x + 5) ≤ 0. Это даёт x + 5 ≤ 1, то есть x ≤ −4, что противоречит ОДЗ.
2. (t − 1)² = 0. Тогда t = 1, поэтому log₆(x + 4) = 1 и x + 4 = 6, откуда x = 2. При x = 2 второй множитель положителен, а первый равен нулю.

Ответ: x = 2.