15. Решите неравенство 4.5^{2x+1} - 133 · 10^x + 25 · 2^{2x+1} 5^x - 2^x ≥ 0.

Решение:

1. Преобразуем числитель и знаменатель неравенства, вынося общие множители:
• Числитель: \( 4 · 5^{2x+1} - 133 · 10^x + 25 · 2^{2x+1} = 4 · 5 · 5^{2x} - 133 · (2 · 5)^x + 25 · 2 · 2^{2x} = 20 · (5^x)^2 - 133 · 2^x · 5^x + 50 · (2^x)^2 \)
• Знаменатель: \( 5^x - 2^x \)
2. Разделим числитель и знаменатель на \( (2^x)^2 \) (так как \( 2^x \) всегда больше нуля, знак неравенства не изменится):
• Числитель: \( 20 · \left(\frac{5^x}{2^x}\right)^2 - 133 · \left(\frac{5^x}{2^x}\right) + 50 \)
• Знаменатель: \( \frac{5^x}{2^x} - 1 \)
3. Введём замену \( t = \frac{5^x}{2^x} = 5^x \). Тогда неравенство примет вид:
• \( \frac{20t^2 - 133t + 50}{t - 1} > 0 \)
4. Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение \( 20t^2 - 133t + 50 = 0 \):
• \( D = (-133)^2 - 4 · 20 · 50 = 17689 - 4000 = 13689 \)
• \( √{D} = 117 \)
• \( t_1 = \frac{133 - 117}{40} = \frac{16}{40} = 0.4 \)
• \( t_2 = \frac{133 + 117}{40} = \frac{250}{40} = 6.25 \)
5. Теперь исходное неравенство с заменой \( t \) выглядит так:
• \( \frac{20(t - 0.4)(t - 6.25)}{t - 1} > 0 \)
6. Решим методом интервалов для \( t \):
• Корни: \( 0.4, 1, 6.25 \).
• Интервалы: \( (-∞, 0.4) \), \( (0.4, 1) \), \( (1, 6.25) \), \( (6.25, ∞) \).
• Знаки выражения: \( -, +, -, + \).
• Нам нужно, где выражение больше нуля: \( t ∈ (0.4, 1) ∪ (6.25, ∞) \)
7. Вернемся к замене \( t = 5^x \):
• \( 0.4 < 5^x < 1 \)
• \( \frac{2}{5} < 5^x < 5^0 \)
• Так как \( \frac{2}{5} < 5^x \) и \( 5^x > 0 \) всегда, то \( x > –1 \).
• \( 5^x < 1 = 5^0 \) ⇒ \( x < 0 \).
• Следовательно, \( -1 < x < 0 \).
• \( 5^x > 6.25 \)
• \( 5^x > \frac{25}{4} = \frac{5^2}{2^2} \).
• \( 5^x > 2.5^2 \).
• \( x > 2 \).
8. Объединим полученные промежутки:
• \( x ∈ (-1, 0) ∪ (2, ∞) \).

Ответ: \( x ∈ (-1, 0) ∪ (2, ∞) \).