15. Сечение треугольной призмы, параллельное боковой грани. В треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точки M и N — середины рёбер AB и AC. Через отрезок MN проведена плоскость α, параллельная ребру BB₁. Докажите, что плоскость α параллельна грани BCC₁B₁, и опишите сечение призмы этой плоскостью. Обозначьте точки пересечения α с рёбрами AA₁ и CC₁ буквами M₁ и N₁.

Так как M и N — середины сторон AB и AC, средняя линия треугольника ABC даёт MN ∥ BC. По условию α содержит MN и параллельна BB₁. В грани BCC₁B₁ пересекаются прямые BC и BB₁; обе они параллельны прямым MN и направлению плоскости α. Поэтому α ∥ BCC₁B₁.

В условии есть геометрическая несогласованность: плоскость α, проходящая через MN и параллельная BB₁, не пересекает рёбра AA₁ и CC₁. Она пересекает рёбра A₁B₁ и A₁C₁. Обозначим эти точки M₁ и N₁ соответственно. Это середины указанных рёбер, поскольку сечение призмы плоскостью, параллельной боковым рёбрам, переносит точки M и N на верхнее основание. Сечение — параллелограмм MNN₁M₁ (прямоугольник не следует без условия о прямой призме).

Следовательно, требование обозначить M₁ и N₁ именно на AA₁ и CC₁ несовместимо с остальными данными условия.