15) Solve for x: sin(x/5) = 1/2

Решение:

• Найдем значения \(\alpha\), для которых \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\). Это \(\alpha = \frac{\pi}{6}\) и \(\alpha = \frac{5\pi}{6}\).
• Таким образом, \(\frac{x}{5} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) или \(\frac{x}{5} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
• Умножим обе части каждого уравнения на 5:
• \[ x = 5 \left( \frac{\pi}{6} + 2\pi k \right) = \frac{5\pi}{6} + 10\pi k \quad \text{или} \quad x = 5 \left( \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \right) = \frac{25\pi}{6} + 10\pi k \]
• Можно объединить решения:
• \[ x = 5 \left( \frac{\pi}{6} + 2\pi k \right) \quad \text{и} \quad x = 5 \left( \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \right) \]
• Альтернативно, можно записать:
• \[ \frac{x}{5} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
• Умножим на 5:
• \[ x = 5 \left( (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \frac{5\pi}{6} + 10\pi k\) и \(x = \frac{25\pi}{6} + 10\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)