15. Степень вершины 1 равна: а) 3; б) 4; в) 5; г) 6; По матрицам смежности определить какие из неографов являются полными:

Решение:

Степень вершины 1:

Для определения степени вершины 1, нужно посмотреть на первую строку (или первый столбец) матрицы смежности. Сумма единиц в первой строке (исключая диагональ) показывает степень вершины. Учитывая, что на диагонали стоят нули (нет петли), степень вершины 1 равна сумме элементов в первой строке: $$1+1+0+1+1 = 4$$.

Полные графы:

Полный граф $$K_n$$ — это граф, в котором каждая пара различных вершин соединена ровно одним ребром. В матрице смежности полного графа все элементы, кроме диагональных (которые равны 0), равны 1.

Проверим матрицы:

• Матрица 1: В первой строке есть 0 (между 1 и 3), значит, граф не полный.
• Матрица 2: В первой строке есть 0 (между 1 и 3), значит, граф не полный.
• Матрица 3: В первой строке все элементы, кроме диагонального, равны 1. Во второй строке все элементы, кроме диагонального, равны 1. В третьей строке все элементы, кроме диагонального, равны 1. В четвертой строке все элементы, кроме диагонального, равны 1. Это матрица полного графа $$K_4$$.
• Матрица 4: В первой строке есть 0 (между 1 и 3), значит, граф не полный.

Следовательно, только третья матрица описывает полный граф.

Ответ: Степень вершины 1 равна: б) 4; Полными являются неографы: в) 3.