15. Сторона AB острого треугольника ABC равна 44. В треугольнике провели медиану CM и высоту CH, причём CM = CB. Чему равна длина отрезка AH?

Так как CM — медиана, точка M — середина AB, поэтому AM = MB = 44 : 2 = 22.

По рисунку точка H лежит между M и B, значит AH = AM + MH. Обозначим MH = x. Тогда HB = 22 − x.

Из прямоугольного треугольника CHB: CB² = CH² + (22 − x)².

Из прямоугольного треугольника CHM: CM² = CH² + x².

Условие CM = CB даёт равенство квадратов длин. После сокращения CH² получаем x² = (22 − x)². Поскольку 0 < x < 22, отсюда x = 11.

Следовательно, AH = AM + MH = 22 + 11 = 33.

Ответ: 33.