15. Сторона \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равна 40. В треугольнике провели медиану \(CM\) и высоту \(CH\), причём \(CM=CB\). Чему равна длина отрезка \(AH\)?

Так как треугольник прямоугольный при \(C\), сторона \(AB\) — гипотенуза. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

\(CM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{40}{2}=20\). По условию \(CB=CM\), поэтому \(CB=20\).

По теореме Пифагора:

\(AC^2=AB^2-CB^2=40^2-20^2=1200\).

Для высоты к гипотенузе проекция катета \(AC\) равна \(AH=\dfrac{AC^2}{AB}\). Тогда \(AH=\dfrac{1200}{40}=30\).

Ответ: 30.