15. Тип 15 № 35157 Моторная лодка прошла против течения реки 234 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ

Решение:

Дано:

• Расстояние (туда и обратно): \( S = 234 \) км.


• Скорость течения реки: \( v_{\text{теч}} = 4 \) км/ч.


• Время обратно на 4 часа меньше, чем против течения: \( t_{\text{обр}} = t_{\text{против}} - 4 \) ч.

Найти:

• Скорость лодки в неподвижной воде: \( v_{\text{лок}} \) км/ч.

Решение:

1. Пусть \( v_{\text{лок}} \) — скорость лодки в неподвижной воде.


2. Скорость лодки по течению: \( v_{\text{по тек}} = v_{\text{лок}} + v_{\text{теч}} = v_{\text{лок}} + 4 \) км/ч.


3. Скорость лодки против течения: \( v_{\text{против}} = v_{\text{лок}} - v_{\text{теч}} = v_{\text{лок}} - 4 \) км/ч.


4. Время в пути против течения: \( t_{\text{против}} = \frac{S}{v_{\text{против}}} = \frac{234}{v_{\text{лок}} - 4} \) ч.


5. Время в пути по течению (обратный путь): \( t_{\text{обр}} = \frac{S}{v_{\text{по тек}}} = \frac{234}{v_{\text{лок}} + 4} \) ч.


6. По условию \( t_{\text{обр}} = t_{\text{против}} - 4 \). Подставим выражения для времени:

\[ \frac{234}{v_{\text{лок}} + 4} = \frac{234}{v_{\text{лок}} - 4} - 4 \]

6. Приведём к общему знаменателю или перенесём члены уравнения:

\[ \frac{234}{v_{\text{лок}} - 4} - \frac{234}{v_{\text{лок}} + 4} = 4 \]

\[ 234 \left( \frac{1}{v_{\text{лок}} - 4} - \frac{1}{v_{\text{лок}} + 4} \right) = 4 \]

\[ \frac{(v_{\text{лок}} + 4) - (v_{\text{лок}} - 4)}{(v_{\text{лок}} - 4)(v_{\text{лок}} + 4)} = \frac{4}{234} \]

\[ \frac{v_{\text{лок}} + 4 - v_{\text{лок}} + 4}{v_{\text{лок}}^2 - 16} = \frac{2}{117} \]

\[ \frac{8}{v_{\text{лок}}^2 - 16} = \frac{2}{117} \]

\[ 2(v_{\text{лок}}^2 - 16) = 8 \cdot 117 \]

\[ v_{\text{лок}}^2 - 16 = 4 \cdot 117 \]

\[ v_{\text{лок}}^2 - 16 = 468 \]

\[ v_{\text{лок}}^2 = 468 + 16 \]

\[ v_{\text{лок}}^2 = 484 \]

\[ v_{\text{лок}} = \sqrt{484} \]

\[ v_{\text{лок}} = 22 \text{ км/ч} \]

Проверка:

• Скорость против течения: \( 22 - 4 = 18 \) км/ч. Время против течения: \( \frac{234}{18} = 13 \) ч.


• Скорость по течению: \( 22 + 4 = 26 \) км/ч. Время по течению: \( \frac{234}{26} = 9 \) ч.


• Разница во времени: \( 13 - 9 = 4 \) ч, что соответствует условию задачи.

Ответ: 22 км/ч.