15. Тип 15 № 4129 Мотоциклист выехал из пункта А в пункт В. Проехав весь путь с постоянной скоростью, он уменьшил скорость на 9 км/ч. Проехав половину обратного пути, он уменьшил скорость еще на 30 км/ч, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость мотоциклиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ. Ответ 19.7

Решение:

Обозначим:

• V — скорость мотоциклиста на пути из А в В (км/ч).
• S — расстояние между пунктами А и В (км).
• T1 — время, затраченное на путь из А в В (ч).
• T2 — время, затраченное на обратный путь (ч).

По условию:

• Время на путь из А в В: $$T1 = \frac{S}{V}$$
• Скорость на первой половине обратного пути: $$V - 9$$ км/ч
• Скорость на второй половине обратного пути: $$(V - 9) - 30 = V - 39$$ км/ч
• Время на обратный путь: $$T2 = \frac{S/2}{V-9} + \frac{S/2}{V-39}$$
• По условию $$T1 = T2$$, следовательно: $$\frac{S}{V} = \frac{S/2}{V-9} + \frac{S/2}{V-39}$$

Сократим S (так как S ≠ 0):

• $$\frac{1}{V} = \frac{1}{2(V-9)} + \frac{1}{2(V-39)}$$
• $$\frac{1}{V} = \frac{V-39 + V-9}{2(V-9)(V-39)}$$
• $$\frac{1}{V} = \frac{2V-48}{2(V-9)(V-39)}$$
• $$(V-9)(V-39) = V(V-24)$$
• $$V^2 - 39V - 9V + 351 = V^2 - 24V$$
• $$V^2 - 48V + 351 = V^2 - 24V$$
• $$-48V + 351 = -24V$$
• $$351 = 48V - 24V$$
• $$351 = 24V$$
• $$V = \frac{351}{24} = \frac{117}{8} = 14.625$$

В условии задачи приведен ответ 19.7. Возможно, в условии или в ответе есть ошибка. Если предположить, что скорость уменьшилась на 30 км/ч сразу на всем обратном пути, то:

• $$\frac{S}{V} = \frac{S}{V-30}$$
• $$V = V-30$$ -> $$0 = -30$$, что невозможно.

Проверим еще раз условие: "Проехав половину обратного пути, он уменьшил скорость еще на 30 км/ч". Это означает, что скорость на второй половине пути составляет $$(V-9) - 30 = V - 39$$.

Если предположить, что обратный путь был пройден со скоростью V-9, а затем еще на 30 км/ч меньше, то есть V-39, то решение выше корректно. Если же скорость на обратном пути просто V-9, а потом V-30, то:

• $$\frac{S}{V} = \frac{S/2}{V-9} + \frac{S/2}{V-30}$$
• $$\frac{1}{V} = \frac{1}{2(V-9)} + \frac{1}{2(V-30)}$$
• $$\frac{1}{V} = \frac{V-30 + V-9}{2(V-9)(V-30)}$$
• $$\frac{1}{V} = \frac{2V-39}{2(V^2 - 39V + 270)}$$
• $$2(V^2 - 39V + 270) = V(2V-39)$$
• $$2V^2 - 78V + 540 = 2V^2 - 39V$$
• $$-78V + 540 = -39V$$
• $$540 = 78V - 39V$$
• $$540 = 39V$$
• $$V = \frac{540}{39} = \frac{180}{13} \approx 13.85$$

Если предположить, что на обратном пути скорость была $$V-9$$, а затем $$V-30$$ (т.е. вторая половина пути пройдена со скоростью $$V-30$$), то решение выше. Если же скорость на обратном пути составила $$V-9$$ и затем еще $$30$$ км/ч меньше, то есть $$V-39$$, то расчет $$V=14.625$$ км/ч.

Если принять, что ответ 19.7 верен, то подставим его:

V = 19.7

T1 = S / 19.7

T2 = S/2 / (19.7 - 9) + S/2 / (19.7 - 39) = S/2 / 10.7 + S/2 / (-19.3). Скорость не может быть отрицательной.

Если предположить, что скорость уменьшилась НА 30 км/ч (то есть стала V-30), а не на 30 км/ч МЕНЬШЕ:

V = 19.7

T1 = S / 19.7

T2 = S/2 / (19.7 - 9) + S/2 / (19.7 - 30) = S/2 / 10.7 + S/2 / (-10.3). Скорость не может быть отрицательной.

Исходя из предоставленного ответа 19.7, возможна другая постановка задачи. Если предположить, что скорость на обратном пути была V-9, а затем скорость уменьшилась еще НА 30 км/ч, т.е. стала V-39, тогда:

V = 19.7

T1 = S / 19.7

T2 = S/2 / (19.7 - 9) + S/2 / (19.7 - 39) = S/2 / 10.7 + S/2 / (-19.3). Отрицательная скорость.

Если предположить, что скорость на обратном пути составляет 9 км/ч МЕНЬШЕ, чем изначально, т.е. V-9, а затем скорость становится еще на 30 км/ч меньше, то есть (V-9)-30 = V-39. При V = 19.7, V-39 = -19.3, что физически невозможно.

Возможно, задача имеет другую формулировку, либо ответ неверен. Если бы скорость на обратном пути была V-30, то:

$$\frac{S}{V} = \frac{S/2}{V-9} + \frac{S/2}{V-30}$$

$$\frac{1}{V} = \frac{1}{2(V-9)} + \frac{1}{2(V-30)}$$

$$2V^2 - 78V + 540 = 2V^2 - 39V$$

$$39V = 540$$

$$V = 540 / 39 = 180/13 \approx 13.85$$

Если же предположить, что