Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
15. Тип 15 № 4300 Двое рабочих одновременно начали выполнять два одинаковых заказа, состоящих из одинакового количества деталей. Первый рабочий выполнял весь заказ равномерно, изготавливая определённое число деталей в день. Второй сначала изготавливал на 11 деталей в день меньше, чем делал первый рабочий, а когда выполнил половину заказа, то стал делать по 66 деталей в день, в результате чего закончил работу одновременно с первым. Какое количество деталей в день делал первый рабочий, если известно, что оно больше 407 Запишите решение и ответ.
Ответ:
Решение:
- Обозначим переменные:
- Пусть $$x$$ — количество деталей, которое первый рабочий изготавливал в день.
- Пусть $$y$$ — общее количество деталей в одном заказе.
- Время, за которое первый рабочий выполнил заказ: $$\frac{y}{x}$$ дней.
- Количество деталей, которое второй рабочий изготавливал в первую половину работы: $$x - 11$$ деталей в день.
- Составим уравнения:
- Первый рабочий за день изготавливает $$x$$ деталей.
- Второй рабочий первые $$\frac{y}{2(x-11)}$$ дней изготавливал по $$x-11$$ деталей.
- За это время он сделал: $$\frac{y}{2(x-11)} \times (x-11) = \frac{y}{2}$$ деталей.
- Оставшуюся половину заказа (то есть $$\frac{y}{2}$$ деталей) второй рабочий изготавливал по 66 деталей в день.
- Время, за которое второй рабочий изготовил вторую половину заказа: $$\frac{y/2}{66} = \frac{y}{132}$$ дней.
- Общее время второго рабочего: $$\frac{y}{2(x-11)} + \frac{y}{132}$$ дней.
- Так как рабочие закончили работу одновременно, их время выполнения заказа равно: $$\frac{y}{x} = \frac{y}{2(x-11)} + \frac{y}{132}$$
- Решим уравнение:
- Разделим обе части уравнения на $$y$$ (так как $$y e 0$$): $$\frac{1}{x} = \frac{1}{2(x-11)} + \frac{1}{132}$$
- Приведем к общему знаменателю: $$\frac{1}{x} = \frac{66(x-11) + x-11}{132(x-11)}$$
- $$\frac{1}{x} = \frac{66x - 726 + x - 11}{132(x-11)}$$
- $$\frac{1}{x} = \frac{67x - 737}{132(x-11)}$$
- $$132(x-11) = x(67x - 737)$$
- $$132x - 1452 = 67x^2 - 737x$$
- $$67x^2 - 737x - 132x + 1452 = 0$$
- $$67x^2 - 869x + 1452 = 0$$
- Найдем корни квадратного уравнения:
- Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-869)^2 - 4 imes 67 imes 1452 = 755161 - 389616 = 365545$$
- $$\sqrt{D} = \sqrt{365545} = 604.6$$ (приблизительно)
- $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{869 + 604.6}{2 imes 67} = \frac{1473.6}{134} \approx 11.0$$
- $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{869 - 604.6}{2 imes 67} = \frac{264.4}{134} \approx 1.97$$
- Так как первый рабочий изготавливал больше деталей в день, чем второй (на 11 деталей меньше), $$x$$ должен быть больше 11. Значит, $$x_1$$ является искомым значением.
- Проверим условие, что $$x > 407$$. Наше решение $$x e 11$$ и $$x e 1.97$$. Что-то пошло не так. Пересчитаем.
- Переформулируем задачу:
- Пусть $$x$$ - количество деталей, которое первый рабочий делает в день.
- Пусть $$t$$ - время, за которое первый рабочий сделал заказ.
- Общее количество деталей в заказе: $$y = xt$$.
- Второй рабочий сначала делал $$x-11$$ деталей в день.
- Он выполнил половину заказа ($$y/2$$), значит, сделал $$\frac{y}{2}$$ деталей.
- Время, за которое он сделал половину заказа: $$\frac{y/2}{x-11} = \frac{xt/2}{x-11}$$.
- Потом он стал делать 66 деталей в день.
- Оставшуюся половину заказа (тоже $$y/2$$) он сделал за время $$\frac{y/2}{66} = \frac{xt/2}{66}$$.
- Общее время второго рабочего: $$\frac{xt/2}{x-11} + \frac{xt/2}{66}$$.
- Так как время выполнения заказа одинаковое: $$t = \frac{xt/2}{x-11} + \frac{xt/2}{66}$$.
- Упростим и решим уравнение:
- Разделим обе части на $$t$$ (так как $$t e 0$$): $$1 = \frac{x/2}{x-11} + \frac{x/2}{66}$$.
- Умножим обе части на 2: $$2 = \frac{x}{x-11} + \frac{x}{66}$$.
- Приведем к общему знаменателю: $$2 = \frac{66x + x(x-11)}{66(x-11)}$$.
- $$2 imes 66(x-11) = 66x + x^2 - 11x$$.
- $$132(x-11) = 55x + x^2$$.
- $$132x - 1452 = 55x + x^2$$.
- $$x^2 + 55x - 132x + 1452 = 0$$.
- $$x^2 - 77x + 1452 = 0$$.
- Решим квадратное уравнение:
- Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-77)^2 - 4 imes 1 imes 1452 = 5929 - 5808 = 121$$.
- $$\sqrt{D} = 11$$.
- $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{77 + 11}{2 imes 1} = \frac{88}{2} = 44$$.
- $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{77 - 11}{2 imes 1} = \frac{66}{2} = 33$$.
- Мы знаем, что первый рабочий делал на 11 деталей больше, чем второй в начале. Если бы первый рабочий делал 33 детали, то второй делал бы 22 детали. Потом второй рабочий стал делать 66 деталей.
- Если первый рабочий делал 44 детали, то второй делал 33 детали. Потом второй рабочий стал делать 66 деталей.
- Условие гласит, что первый рабочий делал больше 407 деталей в день, что не соответствует ни одному из корней. Перечитаем условие.
- Перечитываем условие:
- «Второй сначала изготавливал на 11 деталей в день меньше, чем делал первый рабочий»
- «а когда выполнил половину заказа, то стал делать по 66 деталей в день»
- «закончил работу одновременно с первым»
- «Какое количество деталей в день делал первый рабочий, если известно, что оно больше 407»
- Рассмотрим второй рабочий:
- Пусть $$x$$ — деталей в день делал первый рабочий.
- Тогда второй рабочий делал $$x-11$$ деталей в день.
- Пусть $$T$$ — общее время работы.
- Пусть $$Y$$ — общее количество деталей.
- Первый рабочий: $$Y = xT$$.
- Второй рабочий:
- Время, за которое второй рабочий сделал половину заказа (Y/2) по $$x-11$$ деталей: $$t_1 = rac{Y/2}{x-11}$$.
- Время, за которое второй рабочий сделал вторую половину заказа (Y/2) по 66 деталей: $$t_2 = rac{Y/2}{66}$$.
- Общее время второго рабочего: $$T = t_1 + t_2 = rac{Y/2}{x-11} + rac{Y/2}{66}$$.
- Составим и решим уравнение:
- Подставим $$Y=xT$$ во второе уравнение: $$T = rac{xT/2}{x-11} + rac{xT/2}{66}$$.
- Разделим на $$T$$ (так как $$T eq 0$$): $$1 = rac{x/2}{x-11} + rac{x/2}{66}$$.
- Умножим на 2: $$2 = rac{x}{x-11} + rac{x}{66}$$.
- $$2 = rac{66x + x(x-11)}{66(x-11)}$$.
- $$132(x-11) = 66x + x^2 - 11x$$.
- $$132x - 1452 = 55x + x^2$$.
- $$x^2 + 55x - 132x + 1452 = 0$$.
- $$x^2 - 77x + 1452 = 0$$.
- Корни этого уравнения: $$x_1 = 44$$ и $$x_2 = 33$$.
- Если $$x = 44$$, то второй рабочий делал $$44-11=33$$ детали в день, а потом 66 деталей.
- Если $$x = 33$$, то второй рабочий делал $$33-11=22$$ детали в день, а потом 66 деталей.
- В условии сказано, что первый рабочий делал больше 407 деталей в день. Ни одно из полученных значений не удовлетворяет этому условию.
- Проверим условие: «второй сначала изготавливал на 11 деталей в день меньше, чем делал первый рабочий, а когда выполнил половину заказа, то стал делать по 66 деталей в день».
- Возможно, я неправильно интерпретировала условие.
- Иная интерпретация:
- Пусть $$x$$ - количество деталей, которое первый рабочий делает в день.
- Пусть $$y$$ - количество деталей, которое второй рабочий делает в день (в первой половине работы). $$y = x-11$$.
- Пусть $$z = 66$$ - количество деталей, которое второй рабочий делает в день (во второй половине работы).
- Пусть $$T$$ - время выполнения заказа первым рабочим.
- Пусть $$T$$ - общее время выполнения заказа вторым рабочим.
- Общее количество деталей в заказе $$N$$.
- $$N = xT$$.
- Время, за которое второй рабочий сделал первую половину заказа ($$N/2$$) по $$y$$ деталей: $$t_1 = rac{N/2}{y} = rac{xT/2}{x-11}$$.
- Время, за которое второй рабочий сделал вторую половину заказа ($$N/2$$) по $$z$$ деталей: $$t_2 = rac{N/2}{z} = rac{xT/2}{66}$$.
- Общее время второго рабочего $$T = t_1 + t_2$$.
- $$T = rac{xT/2}{x-11} + rac{xT/2}{66}$$.
- Разделим на $$T$$: $$1 = rac{x/2}{x-11} + rac{x/2}{66}$$.
- $$2 = rac{x}{x-11} + rac{x}{66}$$.
- $$2 = rac{66x + x(x-11)}{66(x-11)}$$.
- $$132(x-11) = 66x + x^2 - 11x$$.
- $$132x - 1452 = 55x + x^2$$.
- $$x^2 - 77x + 1452 = 0$$.
- Корни: $$x=44$$ и $$x=33$$.
- Условие: «Какое количество деталей в день делал первый рабочий, если известно, что оно больше 407?»
- Похоже, что в условии опечатка, и должно быть не «больше 407», а что-то другое, например, «больше 40».
- Если предположить, что вопрос был «сколько деталей в день делал первый рабочий, если известно, что оно больше 40?», то ответ будет 44.
- Если предположить, что вопрос был «сколько деталей в день делал первый рабочий, если известно, что оно больше 30?», то ответ будет 44.
- Если предположить, что вопрос был «сколько деталей в день делал первый рабочий, если известно, что оно больше 25?», то ответ будет 33 или 44.
- Если предположить, что вопрос был «сколько деталей в день делал первый рабочий, если известно, что оно больше 11?», то ответ будет 33 или 44.
- Если принять, что первый рабочий делал $$x$$ деталей в день, второй делал $$x-11$$. Потом второй делал 66.
- Если $$x=44$$, второй делал 33, потом 66.
- Если $$x=33$$, второй делал 22, потом 66.
- Второй рабочий делал в первой половине работы на 11 деталей меньше, чем первый.
- Если первый рабочий делал 44 детали, то второй делал 33.
- Если первый рабочий делал 33 детали, то второй делал 22.
- При этом во второй половине работы второй рабочий делал 66 деталей.
- Это означает, что во второй половине работы второй рабочий делал больше деталей, чем в первой.
- И это больше, чем делал первый рабочий.
- Если $$x=44$$, то второй рабочий начал с 33 деталей, а закончил 66.
- Если $$x=33$$, то второй рабочий начал с 22 деталей, а закончил 66.
- Время выполнения заказа должно быть одинаковым.
- Пусть $$x$$ - скорость первого. Скорость второго была $$x-11$$, затем $$66$$.
- Пусть $$T$$ - время. $$xT$$ - общее число деталей.
- Время второго: $$\frac{xT/2}{x-11} + \frac{xT/2}{66} = T$$.
- $$\frac{x/2}{x-11} + \frac{x/2}{66} = 1$$.
- $$\frac{x}{x-11} + \frac{x}{66} = 2$$.
- $$66x + x(x-11) = 2 imes 66(x-11)$$.
- $$66x + x^2 - 11x = 132(x-11)$$.
- $$x^2 + 55x = 132x - 1452$$.
- $$x^2 - 77x + 1452 = 0$$.
- $$x=44$$ или $$x=33$$.
- Если $$x=44$$, то второй рабочий делал 33 детали, потом 66.
- Если $$x=33$$, то второй рабочий делал 22 детали, потом 66.
- В обоих случаях второй рабочий стал делать больше деталей в день (66), чем первый (44 или 33).
- Условие «больше 407» кажется ошибочным. Если предположить, что это опечатка, и имелось в виду «больше 40», то ответ — 44.
- Если же принять условие как есть, то ни один из корней не подходит.
- Возможно, задача предполагает, что второй рабочий сначала делал на 11 деталей меньше, чем он сам во второй половине работы.
- Тогда $$x-11 = 66$$, $$x=77$$.
- Проверим $$x=77$$:
- Первый делает 77 деталей/день.
- Второй сначала делал $$77-11 = 66$$ деталей/день.
- Потом второй стал делать 66 деталей/день (то есть, скорость не изменилась).
- Это противоречит условию «стал делать по 66 деталей в день», подразумевая изменение.
- Если предположить, что в условии «больше 407» - это опечатка и должно быть «больше 40», тогда выбираем $$x=44$$.
- Если предположить, что вопрос звучал «сколько деталей в день делал второй рабочий, если известно, что он делал больше 40 деталей в день», то ответ был бы 66.
- Но вопрос про первого рабочего.
- Проверим $$x=44$$:
- Первый рабочий: 44 детали/день.
- Второй рабочий: 33 детали/день (первая половина), 66 деталей/день (вторая половина).
- Пусть общее количество деталей $$N$$.
- Первый рабочий: время $$T_1 = N/44$$.
- Второй рабочий: время $$T_2 = rac{N/2}{33} + rac{N/2}{66} = rac{N}{66} + rac{N}{132} = rac{2N+N}{132} = rac{3N}{132} = rac{N}{44}$$.
- Время совпало.
- Значит, $$x=44$$ является решением, если условие было «больше 40».
- Если условие «больше 407» - это не опечатка, то задача не имеет решения в целых числах.
- Но обычно в таких задачах предполагается целое число деталей.
- Учитывая, что это тип 15, скорее всего, имеется в виду одно из целых решений.
- Наиболее вероятная опечатка: «больше 40».
- В этом случае ответ 44.
- Если бы было «меньше 40», ответ был бы 33.
- Заключение:
- Принимая во внимание, что в задачах такого типа часто бывают опечатки, и условие «больше 407» для первого рабочего, который сделал заказ одновременно со вторым (который во второй половине работал со скоростью 66 деталей/день), выглядит нелогичным.
- Наиболее вероятное исправление условия — «больше 40».
- Тогда первый рабочий изготавливал 44 детали в день.
Ответ: 44
