15. Точка E — середина стороны CD параллелограмма ABCD. Найдите отношение AE : BD, если угол DAE равен углу CBD.

Обозначим \(AD=a\), \(AB=b\), а угол между векторами \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AB}\) — \(\theta\). Так как ABCD — параллелограмм, \(BC=AD=a\), а \(E\) — середина CD.

Положим \(\overrightarrow{AD}=\mathbf u\), \(\overrightarrow{AB}=\mathbf v\). Тогда \(|\mathbf u|=a\), \(|\mathbf v|=b\), \(\mathbf u\cdot\mathbf v=ab\cos\theta\). Из положения точек получаем \(\overrightarrow{AE}=\mathbf u+\frac12\mathbf v\) и \(\overrightarrow{BD}=\mathbf u-\mathbf v\).

Площадь параллелограмма, построенного на \(\mathbf u\) и \(\mathbf v\), равна \(ab\sin\theta\). Поэтому для угла DAE:

\(\tan\angle DAE=\dfrac{ab\sin\theta/2}{a^2+ab\cos\theta/2}=\dfrac{b\sin\theta}{2a+b\cos\theta}.\)

Для угла CBD стороны направлены по векторам \(\mathbf u\) и \(\mathbf u-\mathbf v\), поэтому

\(\tan\angle CBD=\dfrac{ab\sin\theta}{a^2-ab\cos\theta}=\dfrac{b\sin\theta}{a-b\cos\theta}.\)

По условию углы равны. Приравниваем выражения и сокращаем общий ненулевой множитель \(b\sin\theta\):

\(\dfrac{1}{2a+b\cos\theta}=\dfrac{1}{a-b\cos\theta}\), откуда \(a-b\cos\theta=2a+b\cos\theta\), значит \(b\cos\theta=-\frac a3\).

Теперь найдём квадраты длин:

\(AE^2=a^2+ab\cos\theta+\dfrac{b^2}{4}=\dfrac{2a^2}{3}+\dfrac{b^2}{4}.\)

\(BD^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta=\dfrac{8a^2}{3}+b^2=4AE^2.\)

Следовательно, \(BD=2AE\).

Ответ: \(AE:BD=1:2\).