15. Точки М и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC. Площадь треугольника MBN равна 12. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC соответственно. Это означает, что отрезок MN является средней линией треугольника ABC, параллельной стороне AC.

Согласно свойству средней линии треугольника, треугольник MBN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия \( k = \frac{1}{2} \) (так как стороны MBN в два раза меньше соответствующих сторон ABC).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 \]\[ \frac{12}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]\[ \frac{12}{S_{ABC}} = \frac{1}{4} \]\[ S_{ABC} = 12 \cdot 4 \]\[ S_{ABC} = 48 \]

Ответ: 48.