15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Рассмотрим две из данных прямых. Пусть прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(A\). Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость \(\alpha\).

1. Если третья прямая \(c\) лежит в плоскости \(\alpha\), то все три прямые лежат в одной плоскости.

2. Пусть третья прямая \(c\) не лежит в плоскости \(\alpha\). Так как \(c\) пересекает \(a\) и \(b\), обозначим точки пересечения \(c\cap a=B\) и \(c\cap b=C\).

   Точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(\alpha\), поскольку прямые \(a\) и \(b\) лежат в ней. Прямая \(c\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точках \(B\) и \(C\). Прямая, имеющая с плоскостью две общие точки, целиком лежит в этой плоскости — противоречие с условием.

   Следовательно, если все три прямые не лежат в одной плоскости, точки пересечения \(B\) и \(C\) должны совпадать. Тогда \(B=C\), и эта точка принадлежит всем трём прямым.

Вывод: три попарно пересекающиеся прямые либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.