15. У стекольщика есть квадратное стекло. Сторона квадрата равна 40 см. Нужно вырезать из этого стекла восьмиугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Для этого нужно наметить линии и по этим линиям отрезать от квадрата четыре одинаковых прямоугольных треугольника по углам (см. рисунок). Найдите приближённо длину катета одного такого треугольника в миллиметрах, считая, что √2 равен 1,41.

Решение:

Пусть сторона квадрата равна \( a = 40 \text{ см} \). Отрезая по углам квадрата четыре одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника, мы получаем правильный восьмиугольник. Пусть \( x \) — длина катета каждого такого треугольника.

После отрезания треугольников сторона квадрата \( a \) будет состоять из одного катета \( x \), одной стороны восьмиугольника (обозначим её \( b \)) и другого катета \( x \). Таким образом:

\( a = x + b + x \) или \( a = 2x + b \).

Поскольку восьмиугольник правильный, все его стороны равны, то есть \( b \) — сторона восьмиугольника.

Отрезанные треугольники — прямоугольные равнобедренные. Гипотенуза такого треугольника является стороной восьмиугольника \( b \). По теореме Пифагора:

\( b^2 = x^2 + x^2 \)

\( b^2 = 2x^2 \)

\( b = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2} \).

Подставим выражение для \( b \) в уравнение для стороны квадрата:

\( a = 2x + x\sqrt{2} \)

\( a = x(2 + \sqrt{2}) \).

Теперь выразим \( x \):

\( x = \frac{a}{2 + \sqrt{2}} \).

Подставим значение \( a = 40 \text{ см} \) и \( \sqrt{2} \approx 1,41 \):

\( x = \frac{40}{2 + 1,41} = \frac{40}{3,41} \).

Вычислим значение \( x \):

\( x \approx 11,73 \text{ см} \).

Переведём в миллиметры (1 см = 10 мм):

\( x \approx 11,73 \times 10 = 117,3 \text{ мм} \).

Округлим до десятых:

\( x \approx 117,3 \text{ мм} \).

Ответ: приближённо 117,3 мм