15. Укажите область определения и область значений функций: а) \(y=\frac{1}{5-|x|}\); б) \(y=\sqrt{|x-4|}-6\).

а) Знаменатель не должен быть равен нулю: \(5-|x|\ne0\), поэтому \(|x|\ne5\) и \(x\ne-5,5\). Следовательно, область определения: \(D=(-\infty;-5)\cup(-5;5)\cup(5;+\infty)\).

Пусть \(t=5-|x|\). Тогда \(t\in(-\infty;5]\), но \(t\ne0\), и \(y=1/t\). При отрицательных \(t\) получаем все отрицательные значения, а при \(0<t\le5\) — \(y\ge\frac15\).

Область значений: \(E=(-\infty;0)\cup[\frac15;+\infty)\).

б) Подкоренное выражение \(|x-4|\) неотрицательно при любом действительном \(x\), поэтому \(D=(-\infty;+\infty)\). Так как \(\sqrt{|x-4|}\ge0\), то \(y\ge-6\); равенство достигается при \(x=4\). Область значений: \(E=[-6;+\infty)\).

Ответ: а) \(D=\mathbb R\setminus\{-5,5\}\), \(E=(-\infty;0)\cup[\frac15;+\infty)\); б) \(D=\mathbb R\), \(E=[-6;+\infty)\).