15. Упростите выражение $$\frac{2}{a-2} + \frac{a+2}{a^2-10a+25} \cdot \frac{6a-30}{a^2-4}$$.

Решение:

Для упрощения выражения нужно выполнить следующие действия:

1. Привести дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:
   • $$a^2-10a+25 = (a-5)^2$$
   • $$a^2-4 = (a-2)(a+2)$$
2. Выполнить умножение дробей:
   $$\frac{a+2}{(a-5)^2} \cdot \frac{6a-30}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{(a-5)^2} \cdot \frac{6(a-5)}{(a-2)(a+2)}$$
   Сократим общие множители $$(a+2)$$ и $$(a-5)$$:
   $$= \frac{1}{(a-5)} \cdot \frac{6}{(a-2)} = \frac{6}{(a-5)(a-2)}$$
3. Сложить дроби:
   $$\frac{2}{a-2} + \frac{6}{(a-5)(a-2)}$$
   Общий знаменатель: $$(a-5)(a-2)$$.
   $$\frac{2(a-5)}{(a-5)(a-2)} + \frac{6}{(a-5)(a-2)} = \frac{2a-10+6}{(a-5)(a-2)} = \frac{2a-4}{(a-5)(a-2)}$$
4. Сократить полученную дробь:
   $$\frac{2(a-2)}{(a-5)(a-2)}$$
   Сокращаем $$(a-2)$$:
   = $$\frac{2}{a-5}$$

Ответ: $$\frac{2}{a-5}$$