15. В окружности с центром O проведены хорды MN и OK. Известно, что угол MON = 120°, OM = 2,8. Найдите длину отрезка OK. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых.

Решение:

Чтобы найти длину отрезка OK, нам нужно рассмотреть треугольник MON. Так как OM и ON — это радиусы одной окружности, треугольник MON является равнобедренным.

Угол MON равен 120°, а сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, углы OMN и ONM равны:

\[ (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30° \]

Отрезок OK является высотой в равнобедренном треугольнике MON, проведенной из вершины O к основанию MN. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является биссектрисой и медианой. Следовательно, угол MOK равен половине угла MON:

\[ \angle MOK = 120° / 2 = 60° \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MOK. Мы знаем, что гипотенуза OM = 2,8 (это радиус окружности) и угол MOK = 60°.

Нам нужно найти длину катета OK. Мы можем использовать тригонометрические функции. В прямоугольном треугольнике:

\[ \cos(\angle MOK) = \frac{OK}{OM} \]

Подставляем известные значения:

\[ \cos(60°) = \frac{OK}{2,8} \]

Мы знаем, что \( \cos(60°) = 0,5 \). Поэтому:

\[ 0,5 = \frac{OK}{2,8} \]

Теперь найдем OK:

\[ OK = 0,5 \times 2,8 = 1,4 \]

Длина отрезка OK равна 1,4 см.

Ответ: 1,4