15. В основании прямой призмы \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) лежит параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) и \(BC\) отмечены точки \(M\), \(K\) и \(N\) соответственно, причём \(B_1K:KC_1=2:3\). Четырёхугольник \(AMKN\) — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5. а) Докажите, что точка \(N\) — середина ребра \(BC\). б) Найдите площадь трапеции \(AMKN\), если объём призмы равен 45, а её высота равна 3.

а) Дано, что \(AMKN\) — трапеция. Так как \(MK\) лежит в верхнем основании призмы, а \(AN\) — в нижнем, параллельные основания трапеции — это \(MK\) и \(AN\). Поэтому \(AN\parallel MK\). Из прямоугольности призмы следует, что проекция отрезка \(MK\) на плоскость основания параллельна \(AN\). Поскольку \(K\) делит \(B_1C_1\) в отношении \(2:3\), проекция точки \(K\) находится на расстоянии \(\frac25 BC\) от \(B\). Условие параллельности \(AN\) и \(MK\) даёт \(BN=\frac25BC\) для соответствующего направления; однако равнобедренность трапеции требует также равенства боковых сторон, что приводит к середине ребра: \(BN=NC\). Следовательно, \(N\) — середина \(BC\).

б) Объём призмы позволяет найти площадь основания: \(S_{ABCD}=45:3=15\). Однако для вычисления площади трапеции нужны её основания и высота в плоскости самой трапеции. Высота призмы равна 3, но она не обязательно равна высоте трапеции; данных, позволяющих установить эту высоту, из условия недостаточно.

Таким образом, пункт а) в приведённом условии требует дополнительного геометрического обоснования, а площадь в пункте б) однозначно определить нельзя без дополнительных сведений о расположении точек или высоте трапеции.