15. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 21°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим стороны-векторы параллелограмма из вершины A через \(\vec{AB}=\mathbf{u}\) и \(\vec{AD}=\mathbf{v}\). Тогда \(\vec{AC}=\mathbf{u}+\mathbf{v}\), а \(\vec{BD}=\mathbf{v}-\mathbf{u}\).

Пусть \(|AB|=a\). По условию \(|AC|=2a\). Угол между \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\) равен \(180°-21°=159°\), поскольку \(\angle ACD\) образован лучами, направленными противоположно этим векторам.

По скалярному произведению:

\(\mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=|\mathbf{u}|\,|\mathbf{u}+\mathbf{v}|\cos159°=-2a^2\cos21°\), поэтому \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-a^2(1+2\cos21°)\).

Из \(|\mathbf{u}+\mathbf{v}|^2=4a^2\) получаем \(|\mathbf{v}|^2=a^2(5+4\cos21°)\). Тогда

\(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}_{BD}=(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(\mathbf{v}-\mathbf{u})=|\mathbf{v}|^2-|\mathbf{u}|^2=4a^2(1+\cos21°)\),

а \(|BD|^2=|\mathbf{v}-\mathbf{u}|^2=8a^2(1+\cos21°)\), следовательно, \(|BD|=4a\cos10.5°\). Поэтому косинус угла между диагоналями равен

\(\dfrac{4a^2(1+\cos21°)}{2a\cdot4a\cos10.5°}=\cos10.5°\).

Меньший угол между диагоналями равен \(10.5°\).

Ответ: 10,5°.