15. В прямоугольном треугольнике ACB (∠C = 90°) проведена высота CD. Гипотенуза АВ равна 10 см, ∠CBA = 30°. Найдите BD.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle B = 30^{\circ} \). Гипотенуза \( AB = 10 \) см.

CD — высота, проведённая к гипотенузе.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Угол \( \angle CDB = 90^{\circ} \).

Угол \( \angle B = 30^{\circ} \) является общим для треугольников ABC и CBD.

В прямоугольном треугольнике CBD, катет BD лежит напротив угла \( \angle B \) в треугольнике ABC.

В прямоугольном треугольнике CBD, катет BD — это прилежащий катет к углу \( \angle B \).

Из треугольника ABC: \( AC = AB \sin(\angle B) = 10 \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см.

Из треугольника ABC: \( BC = AB \cos(\angle B) = 10 \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBD.

Мы можем найти BD, используя тригонометрию в треугольнике ABC, где CD является высотой, и BD является проекцией BC на гипотенузу AB.

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( BC = AB \cos(\angle CBA) \)

\( BC = 10 \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

В прямоугольном треугольнике CBD:

\( BD = BC \cos(\angle CBA) \)

\( BD = 5\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) \)

\( BD = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( BD = 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \) см.

Альтернативный подход:

В прямоугольном треугольнике CBD:

\( BD \) — прилежащий катет к углу \( \angle B \).

\( \angle BCD = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \)

В прямоугольном треугольнике CBD:

\( BD = BC \cos(30^{\circ}) \)

Мы уже нашли \( BC = 5\sqrt{3} \).

\( BD = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7.5 \) см.

Ещё один подход:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. \( \angle B = 30^{\circ} \), \( AB = 10 \).

\( AC = AB \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \).

\( BC = AB \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \).

CD — высота. \( \angle CDB = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике CBD:

\( BD \) — катет, прилежащий к углу \( \angle B \).

\( BD = BC \cos(\angle B) \)

\( BD = 5\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \) см.

Упрощенный способ:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( BC = AB \cos(\angle CBA) = 10 \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. \( \angle CDB = 90^{\circ} \). \( \angle B = 30^{\circ} \).

\( BD \) — прилежащий катет к углу \( \angle B \) в треугольнике CBD.

\( BD = BC \cos(\angle B) \)

\( BD = 5\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \) см.

Ответ: BD = 7,5 см.