15. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 90, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 72. Найдите sin ∠ABC.

Question

Вопрос:

15. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 90, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 72. Найдите sin ∠ABC.

Accepted Answer

Краткая запись:

Прямоугольный треугольник ABC
Катет AC = 90
Высота CH = 72
Найти: sin ∠ABC

Краткое пояснение: Для решения задачи воспользуемся свойством высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и тригонометрическими соотношениями.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AH: \( AH^{2} = AC^{2} - CH^{2} \).
\( AH^{2} = 90^{2} - 72^{2} = 8100 - 5184 = 2916 \).
\( AH = \sqrt{2916} = 54 \).
Шаг 2: Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH и HB. Гипотенузу AB найдем как сумму AH и HB. Однако, HB нам неизвестно. Воспользуемся другим свойством: квадрат катета равен произведению гипотенузы и отрезка гипотенузы, прилежащего к этому катету. Для катета AC: \( AC^{2} = AB \cdot AH \).
\( 90^{2} = AB \cdot 54 \).
\( 8100 = AB \cdot 54 \).
\( AB = 8100 / 54 = 150 \).
Шаг 3: Теперь найдем sin ∠ABC. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} \).
\( \sin(\angle ABC) = \frac{90}{150} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6 \).

Ответ: 0.6