15. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектрисы АЕ и СД. Докажите, что ∆ ADC = ∆ CEA.

Решение:

Дано:

• Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС.
• АЕ — биссектриса угла А.
• СД — биссектриса угла С.

Доказать: \( \Delta ADC = \Delta CEA \)

Доказательство:

1. Так как \( \Delta ABC \) — равнобедренный с основанием АС, то \( \angle BAC = \angle BCA \).
2. Так как АЕ и СД — биссектрисы, то они делят углы \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \) пополам:
• \( \angle DAC = \frac{1}{2} \angle BAC \)
• \( \angle ECA = \frac{1}{2} \angle BCA \)
3. Из равенства \( \angle BAC = \angle BCA \) следует, что \( \angle DAC = \angle ECA \).
4. Рассмотрим треугольники \( \Delta ADC \) и \( \Delta CEA \):
• \( AC \) — общая сторона.
• \( \angle DAC = \angle ECA \) (доказано в п. 4).
• \( \angle ACD = \angle CAE \) (так как \( \angle BCA = \angle BAC \) и \( \angle ACD = \frac{1}{2} \angle BCA \), \( \angle CAE = \frac{1}{2} \angle BAC \) ).
5. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), \( \Delta ADC = \Delta CEA \).

Что и требовалось доказать.