15. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки AD и A₁D₁ — биссектрисы, AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁.

Так как отрезки AD и A₁D₁ — биссектрисы, то ∠BAD = ∠DAB и ∠B₁A₁D₁ = ∠D₁A₁B₁. По условию AB = A₁B₁ и AD = A₁D₁.

Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому ∠ABD = ∠A₁B₁D₁.

Поскольку точки B, D, C и B₁, D₁, C₁ лежат на соответствующих сторонах, получаем ∠ABC = ∠A₁B₁C₁. Также из равенства биссектрис следует равенство углов при вершинах A и A₁: ∠A = ∠A₁.

Итак, AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁.