15. В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 96. Найдите площадь треугольника ABC.

Задание 15. Площадь треугольника

Дано:

• Треугольник ABC.
• DE — средняя линия.
• Площадь треугольника CDE: \( S_{CDE} = 96 \).

Найти: Площадь треугольника ABC \( S_{ABC} \).

Решение:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом подобия \( k = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

• \( \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 \)
• \( \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \)

Отсюда:

• \( S_{ABC} = 4 \cdot S_{CDE} \)
• \( S_{ABC} = 4 \cdot 96 = 384 \)

Ответ: 384