15. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите треугольник ABC, если угол C=63° а BM=AM=MC.

Это задача на применение свойств равнобедренного треугольника.

1. Анализируем условие: Нам дан треугольник ABC, в котором BM — медиана. Важно, что BM = AM = MC. Это значит, что точка M является центром описанной окружности вокруг треугольника ABC, а BM, AM, MC — радиусы этой окружности.
2. Ключевой момент: Так как BM = AM, то треугольник ABM равнобедренный. Аналогично, так как BM = MC, то треугольник BCM равнобедренный.
3. Углы: В равнобедренном треугольнике ABM углы при основании равны: $$\(
   ∠BAM = ∠ABM \)$$. В равнобедренном треугольнике BCM углы при основании равны: $$\(
   ∠BCM = ∠CBM \)$$.
4. Связь с углом C: Нам дан угол $$\(
   ∠C = 63° \)$$. В треугольнике BCM: $$\(
   ∠BCM = ∠C = 63° \)$$, следовательно, $$\(
   ∠CBM = 63° \)$$.
5. Сумма углов в треугольнике: Сумма углов в треугольнике BCM равна 180°. Поэтому $$\(
   ∠BMC = 180° - (∠BCM + ∠CBM) = 180° - (63° + 63°) = 180° - 126° = 54° \)$$.
6. Смежные углы: Углы ABM и CBM — смежные, их сумма равна 180°. Также, угол ABM является частью угла ABC.
7. Угол BAC: Так как BM — медиана, и BM = AM = MC, то треугольник ABC является прямоугольным, и угол B равен 90°. Это следует из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
8. Нахождение углов ABC и BAC: В треугольнике ABM, $$\(
   ∠AMB = 180° - ∠BMC = 180° - 54° = 126° \)$$. Углы при основании AM и BM равны: $$\(
   ∠BAM = ∠ABM = (180° - 126°) / 2 = 54° / 2 = 27° \)$$.
9. Проверка: В треугольнике ABC: $$\(
   ∠BAC = 27° \)$$, $$\(
   ∠C = 63° \)$$, $$\(
   ∠ABC = ∠ABM + ∠CBM = 27° + 63° = 90° \)$$. Сумма углов: 27° + 63° + 90° = 180°.

Вывод: Треугольник ABC является прямоугольным.