15. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 15 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M — середина AC. Поэтому \(AM=MC=15:2=7{,}5\).

Поскольку BH — высота, треугольники BHC и BHM прямоугольные. По теореме Пифагора и условию \(BC=BM\):

\(BC^2=BH^2+HC^2\), \(BM^2=BH^2+HM^2\), следовательно, \(HC^2=HM^2\), откуда \(HC=HM\). Значит, H — середина MC и \(HM=MC:2=3{,}75\).

По рисунку H лежит между M и C, поэтому \(AH=AM+MH=7{,}5+3{,}75=11{,}25\).

Ответ: 11,25.