15. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M — середина AC, поэтому AM = MC = 84 : 2 = 42.

Пусть AH = x, а BH = h. По рисунку точки расположены в порядке A, M, H, C. Из прямоугольных треугольников BHC и BHM и условия BC = BM получаем:

\((84-x)^2+h^2=(42-x)^2+h^2\).

Сокращаем \(h^2\) и решаем уравнение: \((84-x)^2=(42-x)^2\), откуда \(84-x=-(42-x)\), поэтому \(2x=126\) и \(x=63\). Равенство со знаком «плюс» привело бы к противоречию \(84=42\).

Ответ: 63.