15. В треугольнике АВС АС = ВС = 4√15, cos BAC = 0, 25. Найдите высоту АН.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) высота AN проведена к основанию AB.

По условию \( \cos \angle BAC = 0.25 = \frac{1}{4} \). AC = BC = \( 4\sqrt{15} \).

Чтобы найти высоту AN, рассмотрим прямоугольный треугольник ANC (угол ANC = 90 градусов). В этом треугольнике \( AN = AC \cdot \sin \angle CAN \) и \( NC = AC \cdot \cos \angle CAN \).

Сначала найдём \( \sin \angle BAC \):

\[ \sin^2 \angle BAC = 1 - \cos^2 \angle BAC = 1 - (0.25)^2 = 1 - 0.0625 = 0.9375 \]

\[ \sin \angle BAC = \sqrt{0.9375} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \]

В равнобедренном треугольнике ABC, \( \angle ABC = \angle BAC \).

Теперь найдем длину стороны AB по теореме косинусов:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \u00D7 AC \u00D7 BC \u00D7 \cos \angle ACB \]

Нам нужно найти \( \cos \angle ACB \). Так как \( \angle ABC = \angle BAC \), сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), то \( \angle ACB = 180^{\circ} - 2 \angle BAC \).

\[ \cos \angle ACB = \cos(180^{\circ} - 2 \angle BAC) = -\cos(2 \angle BAC) \]

Используем формулу двойного угла: \( \cos(2 \theta) = 2 \cos^2 \theta - 1 \).

\[ \cos(2 \angle BAC) = 2 \times (1/4)^2 - 1 = 2 \times (1/16) - 1 = 1/8 - 1 = -7/8 \]

\[ \cos \angle ACB = -(-7/8) = 7/8 \]

Теперь подставим в теорему косинусов для AB:

\[ AB^2 = (4\sqrt{15})^2 + (4\sqrt{15})^2 - 2 \u00D7 (4\sqrt{15}) \u00D7 (4\sqrt{15}) \u00D7 (7/8) \]

\[ AB^2 = 16 \times 15 + 16 \times 15 - 2 \u00D7 16 \times 15 \u00D7 (7/8) \]

\[ AB^2 = 240 + 240 - 2 \times 240 \times (7/8) \]

\[ AB^2 = 480 - 480 \times (7/8) \]

\[ AB^2 = 480 - 60 \times 7 = 480 - 420 = 60 \]

\[ AB = \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15} \]

Теперь найдём высоту AN. В равнобедренном треугольнике высота AN делит основание AB пополам. Значит, \( AN \) — это катет в прямоугольном треугольнике ANC.

\( \angle NAC = \angle BAC \).

В прямоугольном треугольнике ANC:

\[ AN = AC \times \sin \angle CAN \]

У нас есть \( \sin \angle BAC = \frac{\sqrt{15}}{4} \). Так как \( \angle CAN = \angle BAC \), то:

\[ AN = 4\sqrt{15} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \sqrt{15} \times \sqrt{15} = 15 \]

Другой способ: AN - высота к AB. AN делит AB пополам. \( AN = \sqrt{AC^2 - (AB/2)^2} \). \( AB/2 = \sqrt{15} \).

\[ AN = \sqrt{(4\sqrt{15})^2 - (\sqrt{15})^2} = \sqrt{16 \times 15 - 15} = \sqrt{240 - 15} = \sqrt{225} = 15 \]

Ответ: AN = 15.