15. В треугольнике АВС известно, что \( AC = 16 \), \( BC = 12 \), \( \angle C = 90^{\circ} \). Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

Так как \( \angle C = 90^{\circ} \), то треугольник ABC — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.

Сначала найдём длину гипотенузы AB по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

\( AB^2 = 16^2 + 12^2 \)

\( AB^2 = 256 + 144 \)

\( AB^2 = 400 \)

\( AB = \sqrt{400} = 20 \)

Радиус описанной окружности R равен половине гипотенузы:

\( R = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)

Ответ: 10