15. Вычислить производную функции y=(2x²-1)/(3x+1).

Решение:

Для вычисления производной функции \( y = \frac{2x^2-1}{3x+1} \) воспользуемся правилом дифференцирования частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = 2x^2-1 \) и \( v = 3x+1 \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = (2x^2-1)' = 4x \)
• \( v' = (3x+1)' = 3 \)

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

\[ y' = \frac{(4x)(3x+1) - (2x^2-1)(3)}{(3x+1)^2} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ y' = \frac{12x^2 + 4x - (6x^2 - 3)}{(3x+1)^2} \]

Приведем подобные слагаемые в числителе:

\[ y' = \frac{12x^2 + 4x - 6x^2 + 3}{(3x+1)^2} \]\[ y' = \frac{6x^2 + 4x + 3}{(3x+1)^2} \]

Ответ: \( y' = \frac{6x^2 + 4x + 3}{(3x+1)^2} \).