15. Вычислите значение производной f'(x) при заданном значении аргумента х=1 для функции f(x) = (x²+1)/(x³+1).

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) = \frac{x^2+1}{x^3+1} \) с помощью правила дифференцирования частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = x^2+1 \) и \( v = x^3+1 \).

Тогда \( u' = 2x \) и \( v' = 3x^2 \).

Применяем правило:

\[ f'(x) = \frac{(2x)(x^3+1) - (x^2+1)(3x^2)}{(x^3+1)^2} \]\[ f'(x) = \frac{2x^4+2x - (3x^4+3x^2)}{(x^3+1)^2} \]\[ f'(x) = \frac{2x^4+2x - 3x^4-3x^2}{(x^3+1)^2} \]\[ f'(x) = \frac{-x^4 - 3x^2 + 2x}{(x^3+1)^2} \]

Теперь вычислим значение производной при \( x=1 \):

\[ f'(1) = \frac{-(1)^4 - 3(1)^2 + 2(1)}{(1)^3+1)^2} \]\[ f'(1) = \frac{-1 - 3 + 2}{(1+1)^2} \]\[ f'(1) = \frac{-2}{2^2} \]\[ f'(1) = \frac{-2}{4} \]\[ f'(1) = -0.5 \]

Ответ: -0.5