15) x(x²+8x+16)=12(x+4);

Решение:

Данное уравнение: \( x(x^2 + 8x + 16) = 12(x+4) \).

Заметим, что \( x^2 + 8x + 16 \) является полным квадратом: \( (x+4)^2 \).

Перепишем уравнение:

\( x(x+4)^2 = 12(x+4) \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( x(x+4)^2 - 12(x+4) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x+4) \):

\( (x+4) [x(x+4) - 12] = 0 \)

Раскроем скобки во второй части:

\( (x+4) [x^2 + 4x - 12] = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: \( x+4 = 0 \) \( \implies x = -4 \).

Случай 2: \( x^2 + 4x - 12 = 0 \). Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета ищем два числа, произведение которых равно -12, а сумма равна -4. Это числа -6 и 2.

\( x_1 = -6, \quad x_2 = 2 \)

Таким образом, у нас три корня: -4, -6, 2.

Ответ: x = -4, x = -6, x = 2.